Profa. Maria Ivanilde S. Araújo e-mail: miaraujo@ufam.edu.br Estatística Profa. Maria Ivanilde S. Araújo e-mail: miaraujo@ufam.edu.br Bioestatística - UFAM

Distribuições Discretas Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Discretas Definição: Uma função X, definida sobre o espaço amostral Ω e com valores num conjunto enumerável de ponto da reta, é dita uma variável aleatória discreta. Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas Definição: Chama-se função de probabilidade da v.a. discreta X, que assume os valores 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… 𝑥 𝑛 … a função { 𝑥 𝑖 ,𝑝 𝑥 𝑖 , 𝑖=1,…}, que a cada valor de 𝑥 𝑖 associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é, 𝑝 𝑥 𝑖 =𝑃 𝑋= 𝑥 𝑖 = 𝑝 𝑖 , 𝑖=1,2,…. Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Discretas Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória (v.a.) discreta, se existir uma função p denominada função de distribuição (f.d.) de X que satisfaça as seguintes condições: 𝑝 𝑥 𝑖 ≥0; 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑥 𝑖 =1 Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Discretas A esperança (ou média ou valor esperado) de X é definida como 𝐸 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑃 𝑋= 𝑥 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑝 𝑖 A variância de X é definida como 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝑥−𝐸 𝑋 2 𝑝 𝑖 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =𝐸 𝑋 2 − 𝐸(𝑋) 2 va Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas A função de distribuição acumulada de X é definida por 𝐹 𝑥 =P X≤𝑥 , ∀𝑥 Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Discretas Descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem assumir valores particulares e os valores são finitos. Por exemplo, uma variável aleatória discreta pode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer número inteiro, etc. Um exemplo de variável climatológica discreta são as tempestades com granizo. Bioestatística - UFAM

Estudaremos os seguintes modelos: Distribuição Bernoulli; Alguns modelos de distribuição são frequentemente usados para representar a função distribuição de densidade (f.d.) de variáveis aleatórias discretas.. Estudaremos os seguintes modelos: Distribuição Bernoulli; Distribuição Binomial; Distribuição Poisson; Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli Jakob Bernoulli, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, Suíça, 27 de dezembro de 1654 – 16 de agosto de 1705). Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli Motivação: Muitos experimentos apresentam ou não uma determinada característica: Uma moeda lançada: o resultado é cara ou coroa; Uma dado é lançado: ou ocorre face 5 ou não (ocorrendo então uma das faces 1, 2,3,4 ou 6); Uma criança vai nascer: ou é menina ou menino Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli Definição: Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis denotados por "sucesso", 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 "fracasso, 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 Onde: a probabilidade de sucesso é denota por p e está entre 0 e 1. Seja X um experimento de Bernoulli onde ocorre sucesso ou fracasso. Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli é a distribuição de uma v.a. X associada a um experimento de Bernoulli, onde se define: 𝑋=1, 𝑠𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 "𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜" X=0, 𝑠𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒fracasso" Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p+q=1, ou seja, q=1−p. Temos que: x 1 P(X = x) 1 - p p Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por: 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 1−𝑥 𝑥=0, 1 que é denotada por: 𝑋~𝐵𝑒𝑟(𝑝) Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli onde: 𝐸 𝑋 =𝑝 e Var 𝑋 =𝑝𝑞 𝐹 𝑥 = 0, 𝑠𝑒 𝑥<0 1−𝑝, 𝑠𝑒 0≤𝑥<1 1, 𝑠𝑒 𝑥≥1 Bioestatística - UFAM

Distribuição de Bernoulli BUSSAB, pg. 143. Exemplo: Um experimento aleatório consiste em lançar um dado honesto e observar o seu resultado. Seja X a variável aleatória que vale 1, se o resultado é “5”, e 0 em outro caso. Neste caso a probabilidade de sucesso é p = 1/6. E temos que: 𝑃 𝑋=0 = 5 6 𝐸 𝑋 = 1 6 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 1 6 5 6 = 5 36 X: sucesso ou fracasso. Então o modelo correspondente é dado por: 𝑃 𝑋=𝑥 = 1 6 𝑥 5 6 1−𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 0<𝑝<1. Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial Motivação: Consideremos n repetições independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro p. Uma moeda balanceada é lançada 5 vezes seguidas. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras? Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade do time A ganhar 4 jogos? Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial Vamos definir a seguinte v.a. associada a este experimento: X = número de sucessos obtidos nas n repetições. Onde: A probabilidade de sucesso é constante ao longo do experimento; Cada experimento é independente. Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial Definição: A variável X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p e tem função de probabilidade dada por: 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 Com: 𝑥=0,1,…,𝑛 e 0<𝑝<1 Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial onde: n é o número de repetições do experimento; x é o número sucessos nas n repetições; n-x é o número de fracassos nas n repetições; p é a probabilidade de sucesso num ensaio individual; q é a probabilidade de fracasso num ensaio individual. Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial Denotada por: 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛,𝑝) onde: 𝐸 𝑋 =𝑛𝑝 e, 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =𝑛𝑝(1−𝑝) Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial LOESCH, Claudio. Probabilidade e Estatística, pg. 57. Exemplo: O evento gênero feminino, ao nascimento de uma criança, possui probabilidade p=1/2 de ocorrer. Encontre a distribuição de probabilidade do gênero feminino de um casal com prole n=6 e calcule qual é a probabilidade de que o casal venha a ter pelo menos duas filhas. X é o número de filhas de um casal com 6 filhos. A distribuição de probabilidade é dada por: 𝑃 𝑋=𝑥 = 6 𝑥 1 2 𝑥 1 2 6−𝑥 = 6 𝑥 1 2 6 Bioestatística - UFAM

Distribuição Binomial x 1 2 3 4 5 6 P(X=x) 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 A probabilidade do nascimento de pelo menos duas filhas: 𝑃 𝑋≥2 =1−𝑃 𝑋<2 =1− 𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 1− 0,0156+0,0938 =0,8906 Bioestatística - UFAM

Distribuições Contínuas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Distribuições Contínuas Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Contínuas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Contínuas Definição: Uma função X, definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória continua. Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Contínuas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Contínuas Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória (v.a.) contínua, se existir uma função 𝑓 denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X que satisfaça as seguintes condições: 𝑓 𝑥 ≥0; 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=1; Para qualquer 𝑎,𝑏 𝑐𝑜𝑚 −∞<𝑎<𝑏<∞, teremos 𝑃 𝑎≤𝑋≤𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; Bioestatística - UFAM

Variáveis Aleatórias Contínuas Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Variáveis Aleatórias Contínuas A esperança (ou média ou valor esperado) de X é definida como 𝐸 𝑋 = −∞ +∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 A variância de X é definida como 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = −∞ +∞ 𝑥−𝐸 𝑋 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =𝐸 𝑋 2 − 𝐸(𝑋) 2 A função de distribuição acumulada de X é definida por 𝐹 𝑥 =P X≤𝑥 , ∀𝑥∈ℝ va Bioestatística - UFAM

Estudaremos apenas um modelo: Distribuição normal; Alguns modelos de distribuição são frequentemente usados para representar a função distribuição de probabilidade (f.d.p.) de variáveis aleatórias (v.a.) contínuas. Estudaremos apenas um modelo: Distribuição normal; Bioestatística - UFAM

Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Distribuição Normal É a distribuição de probabilidade mais importante na estatística. Abrange um grande número de fenômenos. Possui gráfico simétrico, em formato de sino. As medidas de tendência central: media, moda e mediana são todas idênticas (simetria). Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Definição: Uma variável aleatória contínua X, definida para todos os valores da reta real, tem densidade normal com parâmetros µ e 𝜎 2 , onde −∞<𝜇<∞ e 0< 𝜎 2 <∞, se sua f.d.p. é dada por 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 𝜎 2 𝑒𝑥𝑝 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2 ,−∞<𝑥<∞. Notação: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ). Bioestatística - UFAM

Universidade Federal do Amazonas 30/03/2017 Distribuição Normal Caracterização: 𝑬 𝑿 =𝝁 𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝝈 𝟐 Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Propriedades: O máximo da função densidade de probabilidade se dá no ponto 𝑥=𝜇; A distribuição é simétrica em relação ao centro 𝜇=𝑀𝑑=𝑀𝑜; Os pontos de inflexão são exatamente 𝜇−𝜎 𝑒 𝜇+𝜎; Verifica-se na distribuição normal que: 𝑃 𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎 =0,6825 𝑃 𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎 =0,9544 𝑃 𝜇−3𝜎<𝑋<𝜇+3𝜎 =0,9974 Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Gráfico da f.d.p. Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Exemplo: Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Vimos que, para cada valor de 𝜇 𝑒 𝜎, existe uma distribuição normal diferente. Deste modo, o cálculo de áreas sob a curva normal, frequentemente necessário, deverá ser feito sempre em função dos particulares valores de 𝜇 𝑒 𝜎. Para evitar essa trabalhosa tarefa de calcular essas áreas, foi determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida. Através da distribuição normal padrão é possível estudar qualquer variável que tenha distribuição normal, com quaisquer valores para 𝜇 𝑒 𝜎. Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão Definição: Seja uma variável aleatória X com distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a um, cuja a função de densidade da normal padrão é definida por: 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 2 2 , −∞<𝑥<∞ Notação: 𝑋~𝑁(0,1) Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão A função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão facilitou o cálculo das áreas sob a curva. Assim, a curva da normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas forma calculadas e apresentadas numa tabela. Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a x. Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão Gráfico da curva da normal padrão Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão A distribuição normal padrão e sua tabela podem ser utilizadas para a obtenção de probabilidades correspondentes a qualquer variável X que tenha distribuição normal. A distribuição de uma variável X, com quaisquer valores para 𝜇 𝑒 𝜎, pode ser obtida pela transformação da variável X na variável Z, através da expressão 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎 Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão Para utilizar os valores da tabela, devemos transformar X em Z. Após a transformação, podemos procurar na tabela a área compreendida entre 0 e z, que corresponderá à área entre 𝜇 𝑒 𝑥. Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão Exemplo: Sabemos que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média 𝜇=3,9 e desvio padrão 𝜎=0,28. Determine: A probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27. Resolução: Para determinar a probabilidade ocorrer uma nota maior do que 4,27, devemos encontrar a área localizada à direita de 4,27 na curva normal. Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão 𝑃 𝑋>4,27 =𝑃 𝑋−3,9 0,28 > 4,27−3,9 0,28 𝑃 𝑋>4,27 =𝑃 𝑋−3,9 0,28 >1,32 𝑃 𝑋>4,27 =𝑃 𝑍>1,32 = 0,5 - 0,40658 Bioestatística - UFAM

Distribuição Normal Padrão 𝑃 𝑍>1,32 =𝑃 𝑍>0 −𝑃 0>𝑍>1,32 𝑃 𝑍>1,32 =0,5−0,4066 𝑃 𝑍>1,32 =0,0934 ou seja, 𝑃 𝑋>4,27 =0,0934 ou 9,34% Bioestatística - UFAM

Referências DANTAS, C. A. B. – Probabilidade: Um curso Introdutório; MEYER, P. L. – Probabilidade (Aplicações à Estatística); BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. – Estatística Básica; Farias, A. M. L. – Variáveis Aleatórias Continuas – UFF; Loesch, C. (2012), Probabilidade e Estatística, Rio de Janeiro: LTC. Bioestatística - UFAM