pROFEssor: jean vilela Matrizes pROFEssor: jean vilela 2° ano cegg

Introdução Origem da matriz: O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a dinastia Han entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester (Inglaterra) em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley (Inglaterra) e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.

Em matemática, a Matriz é representada por uma tabela contendo elementos numéricos, onde a mesma pode possuir ''m'' linhas e ''n'' colunas! Por exemplo, podemos colocar os dados referentes a altura, “peso” e idade de uma família de cinco pessoas descritos na tabela:    altura (metros) peso  (quilogramas  Idade (anos)  João (pai)    1,82  93  62 Mariana (mãe)  1,70  70  60 Jorge (irmão)  1,85  80  35 Marina (irmã)  1,74  78  33 Júnior (irmão)  1,80  75  30

Conceitos iniciais O uso das matrizes no dia-a-dia: Imagens de internet (GIF, JPEG)

Introdução Planilhas eletrônicas (Excel)

Representações Uma matriz pode ser representada de três formas: 2 4 5 6 2 4 5 6 2 4 5 6 Colchetes Parênteses Barra dupla

Partes de uma matriz Elemento Linha Linha Coluna Coluna Coluna

a a Nomenclatura ij mxn Vamos ver algumas definições úteis: Matriz A ( m linha e n colunas ) mxn a ij Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j

Lei de formação Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j: ij ij 2x3 A = (a ) ij 2x3 a = i + j ij A = =

Tipos de matriz Matriz linha: Só tem uma linha. Exemplo:

Tipos de matriz Exercício - Matriz linha: a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal que aij = 2i + 3j.

Tipos de matriz Matriz coluna: Só tem uma coluna Exemplo: A =

Tipos de matriz Matriz quadrada: m = n Exemplo 1: Exemplo 2:

Tipos de matriz Exercícios – Matriz quadrada (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 

Tipos de matriz Exemplo 1: Exemplo 2: Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da diagonal são iguais a zero. Exemplo 1: Exemplo 2:

Tipos de matriz Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo 1: Exemplo 2: A =

Tipos de matriz Matriz diagonal Exemplo 1: Exemplo 2:

Tipos de matriz Exercício – Matriz diagonal Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.

Tipos de matriz Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.  Exemplo: Matriz de ordem 2: Matriz de ordem 3:

Tipos de matriz Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos são 0.  A =

Igualdade de matrizes Se A = B, então: A = a= b= c= d= 1 3 a b B = 2 4

Igualdade de matrizes Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:

Soma de matrizes Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. Exemplo: 1 2 3 A = 4 5 6 A + B = = 2 5 4 B = 1 2 9

Soma de matrizes Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da matriz A e B: A = 2 0 -4 B = 2 3 2 10 7 1 0 4 7 C = C =

Multiplicação pela constante ou produto escalar por matriz Exemplo: 2 . 1 2 3 4 =

Multiplicação pela constante ou produto escalar por matriz Considerando a matriz: -2 3 4 -5 , determine: a) 4 . ( A + B) A= E 1 B=

Matriz oposta Exercício: Determine a matriz oposta de e depois determine (–A + A):

Subtração de matrizes Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem. Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 

Multiplicação de matrizes Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo: B = 2 1 3 2 4 5 A = 1 2 3 3 1 1

Multiplicação de matrizes Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 : 2 5 3 6 2 Existe o produto AB? Justifique: Existe o produto BA? Justifique: Calcule o produto AB:

Matriz transposta Exemplo 1: Exemplo 2: B =

Matriz transposta Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j. b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.

Matriz simétrica É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Exemplo: Dada a matriz A = , sua transposta será? Toda matriz identidade é simétrica.

Matriz inversa -1 A . A = In e A . A = In A= 5 1 4 1 -1