Desenvolvimento do sentido de número racional no 1º ciclo Cecília Monteiro --2006 ESE de Lisboa

O que é um Número Racional? Inteiros Reais Racionais Fraccionários Irracionais

Representações dos números racionais fraccionários Numeral decimal 0,5; 0,25; 0,75, Fracção

O que é um Número Decimal? É um número racional fraccionário que se pode representar por uma dízima finita = 0,5 = 0,25 = 0,3333... NÂO é um número decimal

Como apareceram os números racionais não inteiros? Pela necessidade de partilhar em partes iguais Pela necessidade de MEDIR comprimentos 2500 anos A. C: Os egípcios usavam cordas para fazer as medições com uma unidade assinalada, esticavam a corda e viam quantas vezes é que a corda cabia nos lados do terreno. No entanto dificilmente essa corda cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios usaram este novos números - os fraccionários.

As fracções egípcias As primeiras representações destes números forma através de fracções, assim. Só muito mais tarde apareceu a representação com a vírgula, portanto em numeral decimal

Os racionais não inteiros e os programas nacionais 2º ano - fracções como operadores 3º ano - decimais somente na representação decimal 4º ano - decimais somente na representação decimal Não há conexão com as fracções

Dificuldades inerentes aos próprios números Diferenças conceptuais entre os números fraccionários e os números inteiros

Mal entendidos dos alunos 2,29 é maior que 2,5 3,156 é maior do que 4,5 2,3+4,5= 6,8 mas 1,7+2=1,9 Diferenças conceptuais entre os números inteiros e os números fraccionários, neste caso na sua forma de representação em numeral decimal. 2,3 +4,5 apresentam a mesma dificuldade conceptual, no entanto os alunos erram mais 1,7+2 precisamente porque o 2 não tem a vírgula e a regra diz “vírgula debaixo de vírgula”.

Mal entendidos dos alunos Se adicionarmos uma centésima ao número 49,09 obtém-se : 49,010 ou mesmo 50. Entre 0,1 e 0,2 não há nenhum número Dificuldades conceptuais e dificuldades com a escrita simbólica na forma de numeral decimal

Mal entendidos dos alunos Esta figura representa uma unidade Somente 69% dos alunos de 12 anos acerta e 84% dos alunos com 15 Erro: 20,3

Mal entendidos dos alunos Erro: 14,3 58% dos alunos com 12 anos acerta e 75% dos alunos com 15 anos No último somente 32% acerta e 55% com15 anos Erro: 1,7

Fazer o menor número 3, — — 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resposta errada 3, 1 0 Justificação dada: Porque não tem centésimas e só tem uma décima

Dificuldades inerentes aos próprios números Unidade que é fraccionada Um número fraccionário indica-me sempre uma relação com o “todo” fraccionado.

Diferença entre números racionais inteiros e racionais não inteiros Um número fraccionário (seja decimal ou não) indica sempre uma quantidade, mas também uma relação com a unidade subjacente. É este um dos grandes obstáculos à passagem dos inteiros aos fraccionários

Dificuldades inerentes aos próprios números Os números decimais não têm um número que sucede a outro. Os números racionais formam um conjunto denso, isto é entre quaisquer dois números racionais há infinitos números racionais. 0,1 0,2

A multiplicação e a divisão de números menores que 1 10 : 0,5 = 20 0,1 x 40 = 4 A divisão aumenta A multiplicação diminui Sem contexto e com contexto

Outras possíveis razões para os malentendidos Ensino dos decimais não tem suporte nas fracções Ênfase nas regras e nos algoritmos nem há conexão com as fracções Densidade dos números racionais

Ensino baseado na memorização e na repetição de procedimentos sem sentido para o aluno Poucas tarefas em contextos significativos para as crianças e com recurso a materiais O ensino não enraíza nos métodos dos alunos, nas suas tentativas de resolução de problemas

Abordagem usual aos decimais 0, 1 Apresenta-se a notação 0,1, raramente se usa 1/10. Parte-se muito cedo para as regras dos algoritmos das operações

Regra vs sentido do número 2,25 + 1,75 = 2 + 1 + 0,25 +0,75 = 4 1 2,25 + 1,75 4,00 Decomposição do número na parte inteira e na parte decimal.

Proposta para o ensino dos decimais A partir de tarefas com sentido Ligação à fracções Usar os métodos informais dos alunos Usar diferentes representações do mesmo número Recurso a materiais Apresenta-se uma proposta para a introdução dos números racionais não inteiros, que foi experimentada no Programa de formação contínua em matemática , em algumas escolas.

Diferentes representações para a metade de uma figura As noções de metade, da quarta parte etc.são do conhecimento da vida das crianças. Convém serem propostas , numa fase inicial actividades deste tipo.

Diferentes representações para a quarta parte 25% Um quarto 0,25 É fundamental apresentar os números de várias formas. A diferença entre os números inteiros e os racionais não inteiros é que estes se podem representar de variadíssimas maneiras (somente com um numeral). A representação icónica é fundamental. Neste exemplo podem verificar que figuras que resultam da divisão do quadrado em 4 partes iguais são figuras equivalentes. Têm a mesma área.

Problemas de partilha equitativa Tarefa1: Os alunos da turma da Joana foram a um passeio. A Joana e quatro dos seus colegas decidiram levar para o lanche 3 sandes para partilharem igualmente entre elas. Que porção de sandes coube a cada uma das 5 crianças? As crianças trabalham em grupo e pode ser-lhes fornecidas sandes em papel e uma tesoura para as cortarem em partes iguais. Nalguns casos bastou o lápis e o papel quadriculado

Problemas de partilha equitativa Tarefa 2: No mesmo passeio outro grupo de 10 crianças partilhou 6 sandes tendo cada uma ficado com a mesma quantidade de sandes. Com que porção ficou cada uma?

Problemas de partilha equitativa Tarefa 3: Em qual das duas situações cada criança comeu mais sandes 3 sandes para 5 crianças 6 sandes para 10 crianças? O professor deve confrontar estratégias e ir introduzindo a simbologia adequada e VARIAR AS REPRESENTAÇÕES.

3 sandes para 5 pessoas 6 sandes para 10 pessoas Exemplo de uma produção de uma aluna

3 sandes para 5 pessoas Outro exemplo

3 sandes para 5 pessoas

6 sandes para 10 pessoas

3 sandes para 5 crianças 1 2 3 4 5 3 4 1 2 1 2 3 4 5 Analisando as produções dos alunos

3 sandes para cinco meninos + + =

Resolução com a divisão 3 : 5 = 0,6 No 4º ano de escolaridade alguns alunos que tinham interiorizado o sentido da divisão fizeram logo a divisão de 3 por 5 (nalguns casos os alunos quiseram dividir mas atrapalharam-se com o facto do divisor ser maior do que o dividendo). A fracção surgiu raramente , mas em alunos que já tinham tido contacto com fracções (caso de crianças chinesas e países de leste)

6 sandes para 10 crianças ou

6 sandes para 10 meninos 60 pedaços a dividir por 10 Cada pedaço são 0,6 de sandes

A centésima A centésima pode surgir da medição de objectos que induzam à necessidade de subdividir o decímetro em 10 partes iguais. Se já se trabalhou a décima então surge naturalmente a centésima por este processo. A conexão com as grandezas e medidas em particular o sistema métrico.

Medição de comprimentos dada uma unidade de medida (por exemplo o metro)

O Modelo rectangular para a centésima

O círculo das centésimas 0,01 = Pedir aos alunos para assinalarem números tais como 0,13, ; 0,6; etc. Ver na cadeia de tarefas dos decimais folha fotocopiáveis do círculo das centésimas.

Material Cuisenaire

Os materiais Este material permite variar a unidade. Se a barra laranja valer 1. Então o cubinho vale 0,1 e a amarela 1/2, mas se a unidade for a castanha, o cubinho já vale 1/8 dela, etc.....

A reconstrução da unidade Se representa a quarta parte de um chocolate, representa o chocolate inteiro (usa o papel quadriculado do teu caderno) A unidade

Reconstrução da unidade

MAB

O Metro cúbico Estimar quantas pessoas cabem dentro de um metro cúbico. Fazer decímetros cúbicos em cartão e estimar o número de cubos que cabem num metro cúbico: 1000

A Linha numérica 1 0,5 1

Representação de decimais na linha numérica 5 6 Que número é?

A dupla linha numérica Modelo importante para os alunos perceberem a mudança de unidade. Uma hora também são 60 minutos.

789 x 0,51 = ? Precisaremos de recorrer a um papel e lápis ou mesmo à calculadora para fazer uma estimativa deste valor? Facilmente se percebe que irá dar um valor aproximado de 400. Na escola demoramos horas, dias semanas a ensinar aos meninos estas “contas”, as quais eles aprendem (ou não...)sem perceber nem o que estão a fazer e sem ter a ideia de qual irá ser o resultado o que irá fazer com que se por acaso errarem não se irão aperceber desse facto.

2 500 : 0,5 Quando se contextualiza alguns alunos já conseguem responder, . Por exemplo em 2500 euros quantas moedas de 50 cêntimos há?

Cálculo mental 0,25 x 4 0,25 x 8 0,25 x 16 0,5 x2 0,5 x 4 0,5 x 16 1 : 0,1 2 : 0,1 4 : 0,1 Cálculo suporte para cálculos mais difíceis. 1.0,1 numa unidade quantas décimas há? Ha´10. Etc...

O Cálculo mental e a propriedade distributiva da multiplicação 2,5 x 12 = 2,5 x (10+2) = 25 + 5 = 30 2,5 x12 50 25 30,0 O Algoritmo da multiplicação que usamos é demasiado compactado, para ser entendido pelas crianças numa primeira fase.

Estimativas Números próximos de números de referência Coloca estes números em 3 envelopes: 0,98; 0,49; 1,02; 0,01; 0,52; 0,12 Próximo de Próximo de 1 Próximo de 0 O mesmo para números próximos de 10 e de 100

Estimativas 23 x 0,97 45,6 x 9,98 23 : 0,98 23x0,97 é inferior a 23, 45,6x9,98=455,..., 23 :0.98=23,4

Preciso de comprar 27 bilhetes para ir com uma turma ao teatro, será que 260 euros chegam se cada bilhete custa 9,50 euros Se 10x27= 270 e metade de 27 é 13,5 então 270-13,5 dá uma valor inferior a 260. Portanto o dinheiro é suficiente.

O modelo 10X10 para a multiplicação de decimais Duas décimas de uma décima

O Modelo 10x10 e a multiplicação de decimais: 0,8 x 0,5 Área do rectângulo: 0.40

Divisão 1 : 0,01=100

O Contexto do dinheiro O Contexto do dinheiro é muito aconselhável até porque faz parte das experiências que tas crianças têm,mas há que ter em conta que é mais abstracto do que outras grandezas, visto que é o valor que “cabe 120 e 100 vezes na moeda e não o objecto

1 euro = 100 cêntimos 1 cêntimo = 0,01 euro 1 : 0,01 = 100

Quanto falta para ter um euro? 1 - 0,55 = ? 1 - 0,75 = ?

Um euro equivale a quantos cêntimos? 1 : 0,10 = 10 1 : 0,50 = 2

Recomendações Trabalhar os decimais a partir e/ou a par com as fracções Partir de situações em contextos significativos para dar sentido a estes novos números Apresentar várias maneiras de representar os números racionais não inteiros Variar a unidade de referência - o todo

Recomendações Formalizar a partir das resoluções informais dos alunos na resolução de problemas Fazer conexões com as grandezas e medidas Ênfase no sentido do número Estimativas e cálculo mental Representação na linha numérica Usar materiais

“…É essencial que o aluno consiga, ele próprio, sem ajuda, resolver exercícios pela primeira vez. Todo o problema novo, com interesse, tem uma ideia chave, um “abre-te Sésamo” que ilumina o espírito de súbita alegria: a clássica ideia luminosa que faz gritar “Eureka”.

Ora é esse momento áureo de alegria que o aluno precisa de conhecer alguma vez: só por essa porta se entra no segredo da Matemática, se descobrem os seus tesouros, se aprendem as suas recônditas harmonias.

Visto por este mágico prisma, todos os assuntos, desde os mais modestos, se transformam, como por encanto, ganhando vida e beleza. Diga-se a verdade é de vida, é de alma, que o ensino da Matemática está necessitando…” Professor Sebastião e Silva

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