ESTATÍSTICA

UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 01: DISTRIBUIÇÃO da MÉDIA AMOSTRAL

ADVERTÊNCIA ! Embora esta UD trate de INFERÊNCIA ESTATÍSTICA, no Assunto 01 - Distribuição da Média Amostral ainda trabalharemos com populações conhecidas. Estimativas sobre a população desconhecida serão objeto do Assunto 02 - Intervalo de Confiança.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Organizar a distribuição amostral da média; Relacionar o valor esperado da média amostral com o valor da média populacional; Relacionar erro padrão da média amostral, desvio padrão e tamanho da amostra; Explicar o Teorema Central do Limite (TCL); Determinar a distribuição amostral da média.

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 1 - Amostragem (Noções) 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória SEGUNDA PARTE 5 - Distribuição da Média Amostral 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 7 - Confiança da Média Amostral

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 1 - Amostragem (Noções) 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória

Estudo das relações entre a população e as amostras dela extraídas. 1 - AMOSTRAGEM (Noções) AMOSTRAGEM Atividade de coletar amostras. TEORIA DA AMOSTRAGEM Estudo das relações entre a população e as amostras dela extraídas.

Requer o exame de TODOS os itens da POPULAÇÃO. 1 - AMOSTRAGEM (Noções) CENSO Requer o exame de TODOS os itens da POPULAÇÃO. CENSO ou AMOSTRAGEM ? O que considerar ao decidir.

1 - AMOSTRAGEM (Noções) Sangue REPRESENTATIVIDADE DA AMOSTRA Uma amostra representativa tem as mesmas características da população da qual foi retirada. Sangue

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 2 - Inferência Estatística 1 - Amostragem (Noções) 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA USO DA PARTE PARA ESTIMAR (AVALIAR) O TODO.

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont) CONHECIDA PROCURADA População ? DEDUÇÃO Amostra População ? INDUÇÃO Amostra

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont) PROBABILIDADE: De uma população de 7 lâmpadas, sendo 3 perfeitas, extrai-se 3 lâmpadas, sem reposição. Qual a probabilidade de obtermos as 3 lâmpadas perfeitas? População Amostra DEDUÇÃO Amostra Desejada População Conhecida

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont) ESTATÍSTICA INDUTIVA (ou INFERENCIAL) Uma Parte (Amostra) O Todo (População) Estima Conhecida Desconhecida Indução (ou Inferência)

2 - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA (cont) produz avaliações sobre a população após o exame detalhado de apenas UMA parte dela. amostra ? amostra Média  ? 

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 3 - Métodos de Amostragem 1 - Amostragem (Noções) 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória

3 - MÉTODOS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM ALEATÓRIA AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA AMOSTRAGEM MÚLTIPLA

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 4 - Amostragem Aleatória 1 - Amostragem (Noções) 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (Simples ao Acaso ou Randômica) Equivale ao sorteio lotérico Cada elemento da população tem a mesma chance de ser incluído na amostra.

Técnicas de Aleatorização 4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont) Técnicas de Aleatorização Tabela de Números Aleatórios 9312 4187 1209 8864 ...... ....... ...... ...... .......

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont) Amostragem Aleatória COM Reposição n = 2 1,78; 1,78 1,78; 1,79 1,78; 1,81 1,79; 1,78 1,79; 1,79 1,79; 1,81 1,81; 1,78 1,81; 1,79 1,81; 1,81 N = 3 1,78 1,79 1,81

1,78 1,78 1,78 1,78 OBTENÇÃO DE TODAS AS AAS, COM REPOSIÇÃO, USANDO O DIAGRAMA DE ÁRVORE 1,79 1,78 1,79 1,81 1,78 1,81 1,78 1,79 1,78 1,79 1,79 1,79 1,79 1,81 1,79 1,81 1,78 1,81 1,78 1,81 1,79 1,81 1,79 1,81 1,81 1,81

4 - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA (cont) Amostragem Aleatória SEM Reposição 1,81; 1,79 n = 2 1,78; 1,79 1,78; 1,81 1,79; 1,78 1,79; 1,81 1,81; 1,78 N = 3 1,78 1,79 1,81

SUMÁRIO PRIMEIRA PARTE 1 - Amostragem 2 - Inferência Estatística 3 - Métodos de Amostragem 4 - Amostragem Aleatória SEGUNDA PARTE 5 - Distribuição da Média Amostral 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 7 - Confiança da Média Amostral

SUMÁRIO SEGUNDA PARTE 5 - Distribuição da Média Amostral 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 7 - Confiança da Média Amostral

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral). A distribuição amostral que interessa ao nosso curso é a da MÉDIA, conhecida como DMA.

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont) Montagem da DMA Todas as Amostras Média Amostral Pop. DMA 1 1 2 k 3

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont) Exemplo1: Monte a DMA para AA n = 2, COM reposição, da população de alturas (cm) abaixo. DMA 178 178,5 179 179,5 180 181  1/9 2/9 1 178 179 181 178 179 181 178 179 181 178 179 181 178 179 181

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont) Exemplo2: Monte a DMA para AA n = 2, SEM reposição, da população de alturas (cm) abaixo. 179 181 178 178 179 181 178 179 181 DMA 178,5 179,5 180  2/6 1 fi

Resumo dos Exemplos 1 e 2 População: {178, 179, 181} DMA n = 2 Sem Com DMA n = 2 1 1

5 - DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL (cont) Exemplo 3 Para a população {1, 3, 5, 5, 7} sob amostragem com reposição e fazendo n = 1, 2 e 3, pede-se: a) calcule a média e a variância de cada DMA. b) esboce um gráfico para cada DMA.

N = 5 ; n = 1 É a própria população 1,3,5,5,7

N = 5 ; n = 2 Pop: 1,3,5,5,7 DMA

N = 5 ; n = 3 Pop: 1,3,5,5,7 DMA

Resumo dos resultados do Exemplo 3 AA n = 2 Pop: 1,3,5,5,7 Var = 2,08 ( = 4,16/2) AA n = 3 População Var = 1,39 ( = 4,16/3) Var = 4,16 Média = 4,2

COMPORTAMENTO das DMA As médias amostrais tendem a agrupar-se em torno da média populacional. Aumentando n, a DMA tende para uma curva normal cada vez menos dispersa. As DMA têm média igual à da população.

Média Variância Desvio Padrão RELAÇÕES MATEMÁTICAS : DMA & POPULAÇÃO Com Reposição Sem Reposição Média Variância Desvio Padrão Fator de correção (de população) finita

SUMÁRIO SEGUNDA PARTE 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 5 - Distribuição da Média Amostral 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 7 - Confiança da Média Amostral

6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (TCL) Em amostras aleatórias simples (com reposição) de tamanho n, a média amostral X flutua em torno da média populacional  com erro padrão . À medida que n aumenta, a DMA flutua cada vez menos em torno do alvo , tornando-se cada vez mais próxima da Normal (forma de sino).

Conseqüência 1 do TCL Se a população sob amostragem for normal, a distribuição das médias amostrais será normal para todos os tamanhos de amostras.

Conseqüência 2 do TCL Se a população básica é não normal, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras (n > 30).

Teorema Central do Limite Resumindo Teorema Central do Limite

6 - TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (cont) Exemplo de Aplicação do TCL Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda: a) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter mais de 79 kg?

Nota: Não precisamos montar a DMA, nós conhecemos o TCL. Que bom!!!! Se os pesos dos alunos da Universidade “ A ” seguirem o modelo normal, com média de 70 kg e desvio padrão de 9 Kg, responda: b) escolhida uma amostra de três alunos, ao acaso e com reposição, qual a probabilidade dela ter média maior que 79 kg? SOLUÇÃO  P(média > 79) Nota: Não precisamos montar a DMA, nós conhecemos o TCL. Que bom!!!!

SUMÁRIO SEGUNDA PARTE 7 - Confiança da Média Amostral 5 - Distribuição da Média Amostral 6 - Teorema Central do Limite (TCL) 7 - Confiança da Média Amostral

7 - CONFIANÇA DA MÉDIA AMOSTRAL QUÃO PROVÁVEL É UM VALOR PARA A MÉDIA AMOSTRAL? Exemplo: Um fabricante de lâmpadas de 120 V informa no seu catálogo que seus produtos têm vida útil distribuída normalmente com média de 800 horas e desvio padrão de 200 horas. Calcule a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 lâmpadas instaladas na sua empresa tenham, em média, vida útil abaixo de 750 horas.

Obs: Esta amostragem, a rigor, é sem reposição entretanto, N pode ser considerada uma população infinita o que dispensa o uso do fator de correção.

PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS. BOA SORTE!