FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

DEFINIÇÃO: A função f: IR em IR dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0, denomina-se função quadrática ou função do 2º grau.

São exemplos de função de função do 2º grau: f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3 f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9 f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0 f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0

Ex. : Considere a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c Ex.: Considere a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. Sabendo que f(0) = 5, f(1) = 3 e f(- 1) = 1, calcule os valores de a, b e c e escreva a função f. Solução: Inicialmente iremos substituir o valor de x e f(x) na função f(x) = ax² + bx + c. Assim: f(0) = a.0² + b.0 + c, como f(0) = 5 vem que: C = 5 f(1) = a.1² + b.1 + c a + b + c = 3, substituindo o valor de c fica: a + b + 5 = 3 a + b = - 2 f(- 1) = a.(- 1)² + b(- 1) + c a – b + c = 1 a – b + 5 = 1 a – b = - 4

Resolvendo o sistema:

Substituindo o valor de a em uma das equações teremos: Portanto os valores de a = - 3, b = 1 e c = 5. A função tem sua representação algébrica f(x) = - 3x² + x + 5

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

Para construir o gráfico de uma função quadrática ou do 2º grau no plano cartesiano, vamos proceder da seguinte maneira: Atribuindo valores a x; Representando os pontos no plano cartesiano; Ligando os pontos de variável real.

Ex.: represente no plano cartesiano a função real f(x) = x² - 6x + 5. Solução: Construindo uma tabela com valores arbitrários para x vem x f(x) = x² - 6x + 5 (x, y) 1 f(1) = 1² - 6.1 + 5 = 1 – 6 + 5 = - 5 + 5 = 0 (1, 0) 2 f(2) = 2² - 6.2 + 5 = 4 – 12 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (2, - 3) 3 f(3) = 3² - 6.3 + 5 = 9 – 18 + 5 = -9 + 5 = - 4 (3, - 4) 4 f(4) = 4² - 6.4 + 5 = 16 – 24 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (4, - 3) 5 f(5) = 5² - 6.5 + 5 = 25 – 30 + 5 = - 5 + 5 = 0 (5, 0)

Representando os pontos no plano cartesiano teremos:

E por fim a representação gráfica da função quadrática

ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Denomina-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Se ∆ > 0, a função tem dois zeros reais e distintos (x’ ≠ x’’) Se ∆ = 0, a função apresenta tem dois zeros iguais (x’ = x’’) Se ∆ < 0, a função não tem zero real

Ex.: Vamos encontrar, se existir, os zeros da função f(x) = x² - 4x – 5. Solução: Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim: Calculemos agora seus zeros:

Logo, os zeros da função são – 1 e 5

Ex.: Determinar os zeros da função y = x² - 2x + 6. Solução: Como ∆ < 0, a função não tem zero real Ex.: Determinar os zeros da função y = 4x² + 20x + 25. Solução: Como ∆ = 0 a função tem dois zeros reais e iguais. Continuemos então a resolução:

INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Pela definição dada anteriormente, vimos que os zeros ou raízes da função f(x) = ax² + bx + c sâo os valores de x para os quais f(x) = 0 Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x² - 2x – 3.

Solução: Fazendo a construção da tabela podemos montar o gráfico f(x). y 2 5 1 3 4

Note que a função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, ou seja, para esses dois valores f(x) = 0. Portanto temos os zeros da função quadrática.

ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordena-das são: Os esboços dos gráficos, nos diversos casos são os seguintes:

Logo: O vértice da parábola é o ponto

O pensamento é muito mais importante do que o conhecimento “Albert Heinstein”