RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 10 – Análise de Tensões

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Analisar as tensões principais; Verificar as tensões de cisalhamento máximas; Reconhecer o Circulo de Mohr para tensões.

ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS O estado geral de tensão é caracterizado por seis tensões independentes (3 normais e 3 cisalhantes); O estado geral de tensão não é comum em engenharia; Engenheiros fazem simplificações e tornam este estado em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com três componentes (2 normais e 1 cisalhante).

ESTADO GERAL DE TENSÃO z x y xz xy yz

ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL sx sy txy z = 0; tyz = 0; txz = 0.

ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL Na prática da engenharia, muitas vezes é importante determinar a orientação dos planos para encontrar situações particulares (tensões máxima e mínima). As tensões normais e as tensões de cisalhamento variam continuamente quando os eixos são rotacionados através do ângulo q, nos planos em que as tensões agem. Observe a figura a seguir.

x x’ y y’ txy  tx’y’ sx sy txy sx' sy’ sy' tx'y’ q TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO x x’ y y’ txy  tx’y’

x x’ y y’ txy  tx’y’ TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO - EXPRESSÕES Abaixo temos as relações que fazem as transformações x x’ y y’ txy  tx’y’

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento da figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada.

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 80 MPa 50 MPa 25 MPa q = - 300

x= - 80 Mpa; y= + 50 Mpa ; txy = - 25 Mpa e q = - 30º APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Da figura e observando a convenção de sinais temos que: x= - 80 Mpa; y= + 50 Mpa ; txy = - 25 Mpa e q = - 30º

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1

TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Para determinarmos tais valores devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero: Assim,

TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp1 e q = qp2) onde as tensões normais são máxima e mínima. Fazendo as substituições devidas, teremos: Dependendo do sinal utilizado, determinaremos o valor máximo ou mínimo.

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Para determinarmos este valor devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero: Assim,

TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp1 e q = qp2) onde a tensão cisalhante é máxima. Os planos para tal condição são aqueles rotacionados de 45º em relação aos planos de tensão principal. Neste plano, ocorre uma tensão normal denominada média e dada por:

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Suponha que uma torção T seja aplicada a uma barra e produza um estado de cisalhamento puro no material. Determine: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão média associada; b) As tensões principais.

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 sx = sy= 0 e txy= -t

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 s1 s2 q = 450 sx = sy= 0 e txy= t

s2= - t s1= t APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Substituindo 45º e 135º q = 450 s2= - t

CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. Neste tópico, é possível mostrar que as equações para transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que muitas vezes é mais conveniente. Além disso, essa abordagem nos permite “visualizar” qual será a variação das componentes de tensão normal e tensão de cisalhamento, à medida que o plano em que agem é orientado em diferentes direções.  

CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. A partir das equações: É possível escrever que:  

CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. smédio R txy sx (sx – sy)/2

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Devido a carga aplicada a um cilindro maciço um ponto A fica submentido ao estado de tensão abaixo. Desenhe o círculo de Mohr. 12 MPa 6 MPa

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Pela convenção: sx = -12 MPa; sy= 0 e txy= -6MPa Centro do círculo: Ponto inicial A: Raio R:

APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 s t 12 6 R 2qp

RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: As tensões principais; As tensões de cisalhamento máximas; O círculo de Mohr para tensões; Aplicações.