CÁLCULO NUMÉRICO Aula 6 – Aproximação de funções

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Aproximação de funções: Interpolação Polinomial: Método de Lagrange; Método de Newton. Ajuste de funções.

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Consiste em determinar uma função (polinomial, neste caso) que se ajuste a uma série de pontos dados. Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único polinômio de grau menor ou igual a n. 6 pontos polinômio de grau 3

MÉTODO DE LAGRANGE (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n);

Considere o seguinte conjunto de pontos: EXEMPLO1: Considere o seguinte conjunto de pontos: Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12 xi 1 2 f(xi) -2 4 12

CONTINUAÇÃO EXEMPLO 1

MÉTODO DE NEWTON (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n); OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDAS Para n = 2 (diferença dividida ordem n)

MÉTODO DE NEWTON - CONTINUAÇÃO (ordem 0) (ordem 1) (ordem 2) (ordem 3)

Considere o seguinte conjunto de pontos: EXEMPLO 2: Considere o seguinte conjunto de pontos: Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12 xi 1 2 f(xi) -2 4 12

EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO:

EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO:

AJUSTE DE FUNÇÕES Nem sempre a interpolação é aconselhável. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento (extrapolação); Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros e não pelos pontos. Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.

AJUSTE DE FUNÇÕES Caso discreto: Dados “k” pontos distintos no plano (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3) ...;(xk,yk) num intervalo [a,b]. Devemos escolher funções lineares ou não g1(x), g2(x)...gk(x), e constantes a1, a2 ,..., ak tais que a função  (x) = a1. g1(x) + a2. g2(x) + ...+ ak. gk(x) se aproxime de y = f(x); Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar a1, a2 ,..., ak aparecem linearmente.

AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO Diagrama de dispersão sugere uma função polinomial do 20 grau

AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO f(x) (x)

AJUSTE DE FUNÇÕES – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Função (x) = a1.g1(x) + a2.g2(x) + a3.g3(x) + ...+ ak.gk(x) Determinar (x) que mais se aproxime de f(x), ou seja, determinar os “ais” Desvio: [f(xi) – (xi)]2 para i = 1, 2, ...k F mínima  para cada ai . Sistema linear com k incógnitas e k equações. A solução leva aos valores de a1, a2, ..., ak.

EXEMPLO 3 Sejam os pontos abaixo de um experimento. Gráfico de dispersão sugere parábola que passa pela origem; (x) = a1.g(x), onde g(x) = x2.

EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO

EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO

RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: Aproximação de funções: Interpolação Polinomial: Método de Lagrange; Método de Newton. Ajuste de funções.