Placas Retangulares

Placas – Características Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha

Teorias de Placas Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise. Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise. Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.

Placas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões

Teoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento gxz e gyz são desprezíveis, a linhas normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão. 2. A tensão normal sz e a deformação correspondente ez são desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média. 3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita. 4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.

Forças no Plano de um Elemento de Placa

Momentos e Forças Transversais

Equilíbrio de um Elemento de Placa Uma equação e 4 incógnitas Mx, My, Mxy e w

Relações entre Momentos e Deslocamentos

Equação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade

Condições de Contorno (borda x = constante) a) engaste – deslocamento e rotação nulas: b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos, c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:

Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0, a em y = 0, b Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que em x = 0 , a e em y = 0 , b

Compressão Axial Uniforme – Carga Crítica em x = 0 , a em y = 0 , b , m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ...

Compressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem , onde

Flambagem de Placas - Fórmula Geral a) Regime Elástico k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de: a) tipo de carregamento b) condições de contorno c) alongamento a/b

Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas em x = 0 , a

Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas Compressão Uniforme Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

Compressão Uniforme Placa-Coluna Flange

Placa Coluna – Tensão Crítica

Placa Coluna – Tensão Crítica

Flange – Coeficiente de Flambagem

Compressão Axial – Várias Condições de Contorno

Compressão Axial – Restrição Elástica

Compressão Axial – Restrição Elástica

Compressão Axial – Restrição Elástica

Compressão Axial – Restrição Elástica

Exemplo O revestimento de 0.080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, F0.7 = 17,3 ksi, n = 6,2, ne = 0,3) de uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis. Solução: Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4,0 / 0,08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5,2 .

Coeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável

Placa em Flexão b = b/c.

Coeficientes de Flambagem - Flexão

Coeficientes de Flambagem - Flexão

Exemplo Uma placa 6 x 3 x 0,06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0,5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança? A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e b, onde b = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0,5)b / 2 , de modo que b = 2 / 1,5 = 1,33. Para este valor de b e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11.

Coeficientes de Flambagem - Flexão

Coeficientes de Flambagem - Flexão

Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento

Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento

Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento

Coeficiente de Flambagem - Cisalhamento

Exemplo Uma placa 8 x 6.4 x 0.1 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos e manufaturada em liga de alumínio 7075-T6 a 300oF (E = 9400 ksi, s0.7 = 55.8 ksi, n = 15.6, ne = 0.3), está sujeita a um fluxo de cisalhamento q = 1.6 kips/in. O requisito de projeto determina que esta placa não flambe sob o carregamento e temperatura dados. Qual o coeficiente de segurança? Solução: Para a/b = 8/6.4 = 1.25, a curva inferior da Fig. 5-26 fornece ks = 7.8. A tensão de cisalhamento aplicada é dada por fs = q/t = 1.6 / 0.1 = 16 ksi. A margem de segurança é, então, dada por MS = (Fs)cr / fs - 1 = 16.2 / 16 – 1 = 0.013

Flambagem Inelástica de Placas h = Fator de Correção de Plasticidade

Fator de Correção de Plasticidade Douglas

Curvas de Correção de Plasticidade - Douglas

Curvas de Correção de Plasticidade - Boeing

Correção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

Correção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

Correção de Plasticidade – Ramberg-Osgood

Exemplo Considere um painel 3 x 9 x 0.094 in, simplesmente apoiado nos quatro bordos, manufaturado em liga de alumínio 2024-T3 (E = 10700 ksi, s0.7 = 39 ksi, n = 11.5, ne = 0.3), submetido à compressão uniaxial. Ache a tensão crítica scr . Solução: Para a/b = 9/3 = 3, a curva C da Fig. 5-9 fornece kc = 4.0. A tensão crítica no regime elástico (h = 1) é dada por Esta tensão está acima do limite de proporcionalidade, ou seja, h < 1. Como não estão disponíveis, aqui, curvas para o material como aquelas apresentadas na Fig. 5-53, adotar-se-á as curvas adimensionalizadas baseadas no modelo de Ramberg-Osgood da Fig. 5-54.

Exemplo n = 11.5 scr = 0.84 x 39 = 32.8 ksi

Exemplo O fator de correção de plasticidade, para este caso, é A espessura de placa utilizada neste exemplo, de 0.094 in, é relativamente grande. Se esta espessura for modificada para .051 in, os cálculos indicariam: a Fig. 5-54 com n = 11.5 e scr = 0.287 x 39 = 11.2 ksi, que é o mesmo valor obtido fazendo-se h = 1, ou seja, a flambagem se dá no regime elástico.

Complessão Bi-Axial - Apoio Simples

Compressão Bi-Axial - Placa Quadrada 4 8 12 20 -4 16 m=2, n=2 m=1, n=2 m=2, n=1 m=1, n=1 Estável Instável Fronteira de Estabilidade kx ky

Compressão Uniaxial - Bordas Descarregadas Fixas

Carregamentos Combinados - Curvas de Interação ou Curva de Interação

Curvas de Interação Caso Geral 1.0 c C Rx Ry Curva de Interação B Ry d A Rx 1.0 Caso Geral

Compressão Bi-Axial

Flexão + Compressão Longitudinal

Flexão + Cisalhamento

Cisalhamento + Tensão Longitudinal

Exemplo Um painel de revestimento de uma asa de aeronave está sujeita a uma tensão de compressão longitudinal de 3 ksi e um fluxo de cisalhamento de 0.1 kips/in na carga limite. Determine a margem de segurança se, para preservar a suavidade aerodinâmica, é requerido que não ocorra flambagem na carga limite. O painel, de dimensões 4 x 10 x 0.040 in , é manufaturado em liga de alumínio (E = 10500 ksi, n = 0.3) Solução: Considerando, de forma conservativa, que os bordos são simplesmente apoiados, obtém-se, das Figs. 15-9 e 15.26, com a/b = 10/4 = 2.5, kc = 4.1 e ks = 6.0 onde os subscritos referem-se a compressão e cisalhamento, respectivamente. As tensões críticas são dadas pela Eq. (5.32)

Flexão + Compressão Longitudinal + Cisalhamento

Flexão + Compressão Bi-Axial

Flexão + Cisalhamento + Compressão Transversal

Cisalhamento + Compressão Bi-Axial