Degenerescência, ciclagem e eficiência do Simplex Prof.: Eduardo Uchoa http://www.logis.uff.br/~uchoa/POI

Problema do Mix de Produção Modelo: maximizar z = 4,0 xmad + 6,0 xal Sujeito a 1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24 3,0 xmad + 1,5 xal ≤ 21 1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8 xmad , xal ≥ 0 xmad 5 xal 3,2 4,8 Z = 41,6 Solução ótima: x1 = 3,2 x2 = 4,8 Lucro = 41,6 Obs.: x4 = 4,2 (folga da montagem)

Problema do Mix de Produção Alterando a 2ª restrição: Modelo: maximizar z = 4,0 xmad + 6,0 xal Sujeito a 1,5 xmad + 4,0 xal ≤ 24 1,0 xmad + 3,0 xal ≤ 18 1,0 xmad + 1,0 xal ≤ 8 xmad , xal ≥ 0 xmad 5 xal

Problema do Mix de Produção Introduzir as variáveis de folga maximizar z = 4,0 x1 + 6,0 x2 Sujeito a 1,5 x1 + 4,0 x2 + 1 x3 = 24 1,0 x1 + 3,0 x2 + 1 x4 = 18 1,0 x1 + 1,0 x2 + 1 x5 = 8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

Problema do Mix de Produção Montar o 1o dicionário isolando as variáveis de folga

Problema do Mix de Produção Qual variável vai sair da base?

Problema do Mix de Produção Qual variável vai sair da base? x2 entra na base x3 e x4 empataram no critério de seleção da variável que sairá da base. Logo, existirão duas opções para o próximo dicionário.

Problema do Mix de Produção 1ª Opção: se x2 entrar e x3 sair da base:

Problema do Mix de Produção 2ª Opção: se x2 entrar e x4 sair da base:

Problema do Mix de Produção 2ª Opção: se x2 entrar e x4 sair da base: Nas duas opções, tem-se uma solução degenerada, onde uma variável básica tem valor zero na solução do dicionário.

Problema do Mix de Produção Continuando na 2ª opção

Problema do Mix de Produção Continuando na 2ª opção

Problema do Mix de Produção Continuando na 2ª opção

Problema do Mix de Produção O novo dicionário:

Problema do Mix de Produção Houve a mudança de base, mas a solução tem o mesmo valor da solução dada pelo dicionário anterior. Quando isso ocorre, tem-se uma iteração degenerada do Simplex.

Problema do Mix de Produção Continuando:

Problema do Mix de Produção Este dicionário dá a solução ótima do problema com: x1 = 16/5 x2 = 24/5 z = 208/5

Degenerescência em PL Definição: Um PL é degenerado se há pelo menos uma solução básica viável com uma variável básica com valor zero (=0). Essa solução é dita degenerada. Ao longo do Simplex, a degenerescência surge quando há empate na seleção da variável que sairá da base. A iteração seguinte pode uma iteração degenerada.

Consequencias da Degenerescência Se um PL possui muitas soluções degeneradas, o método Simplex pode demorar mais iterações do que o usual para chegar na solução ótima. Em certos casos extremamente raros, pode ocorrer ciclagem, o Simplex pode visitar uma sequencia de soluções degeneradas (todas de mesmo custo) que se repetem infinitamente. Nesse caso, o método não chegaria na solução ótima.

Ciclagem no método Simplex Não é fácil construir um PL que possa fazer o Simplex ciclar.

Exemplo de um PL que pode ciclar

Evitando a ciclagem Existem algumas escolhas dentro do método Simplex que garantem que a ciclagem nunca vai ocorrer. A mais simples é a Regra de Bland: Dentre as variáveis que podem entrar na base, escolha sempre a com menor índice; dentre as variáveis que podem sair da base também escolha a com menor índice Essas regras só precisam ser ativadas após uma longa sequencia de iterações degeneradas, quando se desconfia que está ocorrendo ciclagem.

Eficiência do método Simplex O número de soluções básicas de um PL é finito Tomando um pouco de cuidado para não ocorrer ciclagem, cada iteração do Simplex visita uma solução básica diferente O método Simplex sempre termina em um número finito de iterações

Eficiência do método Simplex Entretanto, o número de soluções básicas de um PL pode ser muito grande: Existem alguns PLs criados artificialmente em que o Simplex visita todas as soluções básicas antes de chegar no ótimo!

Na prática o método Simplex é muito eficiente! Na maioria dos casos, o Simplex visita menos do que 2m soluções Quando o PL é muito degenerado isso pode chegar a 10m. De qualquer forma, com software adequado, problemas com milhões de variáveis/restrições são resolvíveis em um notebook.

OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade Federal Fluminense (UFF) e foi criado a partir das notas do Prof. Rodrigo A. Scarpel do ITA (www.mec.ita.br/~rodrigo) e não pode ser reproduzido sem autorização prévia de ambos os autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.