Aplicações adicionais da derivada Aula 05 – Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Funções crescentes e decrescentes Gráfico dos gastos com armamentos dos países do antigo bloco soviético como porcentagem do PDB durante o período crucial de 1990 a 1995 que se seguiu à extinção da União Soviética. Intuitivamente, sabemos que uma função f(x) é crescente quando a curva de f se inclina para cima e decrescente quando a curva se inclina para baixo.

Definição Função Crescente e Função Decrescente: Seja f(x) uma função definida no intervalo 𝑎<𝑥<𝑏 e sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois números no intervalo. Nesse caso, 𝑓(𝑥) é crescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2>𝑥1. 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2>𝑥1.

Como se pode ver nas figuras acima, se as inclinações das retas tangentes à curva de uma função f(x) são todas positivas no intervalo 𝑎<𝑥<𝑏, a inclinação da curva é para cima e f(x) é crescente no intervalo. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada f’(x), concluímos que f(x) é crescente nos intervalos em que 𝑓’(𝑥)>0. Da mesma forma, f(x) é decrescente nos intervalos em que 𝑓’(𝑥)<0.

Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) à adição de fósforo x, em que 0≤𝑥≤210 (ppm P), aproximou-se pela função: 𝑓 𝑥 =−0,00000083 𝑥 3 +0,0000678 𝑥 2 +0,061792𝑥+6,7287 Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e o ponto de inflexão e justifique seu significado.

Uso da derivada pera determinar os intervalos em que a função f é crescente e decrescente 1º passo: Determine todos os valores de x para os quais 𝑓’(𝑥) = 0 ou 𝑓’(𝑥) não é contínua e assinale estes valores em uma reta de números dividindo, assim, a reta em um certo número de intervalos abertos. 2º passo: Escolha um número de teste c para cada intervalo 𝑎<𝑥<𝑏 determinado no 1º passo e calcule 𝑓’(𝑐). Se 𝑓’(𝑐) > 0, a função 𝑓(𝑥) é crescente no intervalo 𝑎<𝑥<𝑏. Se 𝑓’(𝑐) < 0, a função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo 𝑎<𝑥<𝑏.

Exemplo 1 Determine os intervalos em que a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥³+3𝑥²−12𝑥−7 é crescente ou decrescente.

Exemplo 2 Determine os intervalos em que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥² 𝑥−2 é crescente e decrescente.

𝑓 𝑥 =−0,00000083 𝑥 3 +0,0000678 𝑥 2 +0,061792𝑥+6,7287

𝑓´ 𝑥 =−0,00000249 𝑥 2 +0,0001356𝑥+0,061792 𝑓´ 𝑥 =0 𝑥´=−132,64 𝑒 𝑥´´=187,1 𝑓´ 𝑐 >0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥<−132,64 𝑒 −132,64<𝑥<187,1 ⇒𝑓 𝑥 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓´ 𝑐 <0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>187,1 ⇒𝑓 𝑥 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Exercícios Determine os intervalos em que a função dada está aumentando e diminuindo: A) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −4𝑥+5 B) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3𝑥−4 C) 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 −5 𝑥 4 +100

𝑓´ 𝑥 = 5𝑥 4 −20 𝑥 3 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 −5 𝑥 4 +100

Exemplo A receita obtida com a venda de um tipo de máquina t semanas após o lançamento do produto é dada por: 𝑅 𝑡 = 63𝑡−𝑡² 𝑡 2 +63 0≤𝑡≤63 milhões de reais. Em que instante a receita é máxima? Qual é esta receita? Receita máxima?

Em x5 temos um “ponto de quebra”, não existe tangente. Extremos relativos A simplicidade dos gráficos das figuras anteriores pode ser enganadora. A figura a seguir mostra um gráfico mais geral. Observe que existem “picos” e “vales”. Mas só é possível traçar tangentes horizontais em alguns pontos. Em x5 temos um “ponto de quebra”, não existe tangente. O ponto x1 existe uma tangente horizontal que não é um pico nem um vale.

Extremos relativos Como os métodos do cálculo podem ser usados para localizar e identificar os “picos” e “vales” de uma função? (o que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver problemas de otimização). Os “picos” de uma função f são chamados de máximos relativos de f e os “vales” são chamados de mínimos relativos. Os máximos e mínimos relativos são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.

Extremos relativos Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) possui um máximo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐)≥𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎<𝑥<𝑏 que contenha o ponto c. Uma função 𝑓(𝑥) possui um mínimo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐)≤𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎<𝑥<𝑏 que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.

Números críticos e pontos críticos Como uma função 𝑓(𝑥) é crescente quando 𝑓’(𝑥) > 0 e decrescente quando 𝑓’(𝑥) < 0, os únicos pontos nos quais 𝑓(𝑥) pode possuir um extremo relativo são aqueles em que 𝑓’(𝑥) é nula ou não existe. Estes pontos são tão importantes que recebem um nome especial. Números Críticos e Pontos Críticos – um número 𝑐 pertencente ao domínio de 𝑓(𝑥) é chamado de número crítico se 𝑓’(𝑐) = 0 ou se 𝑓’(𝑐) não existe. O ponto correspondente (𝑐, 𝑓(𝑐)) no gráfico de 𝑓(𝑥) é chamado de ponto crítico de 𝑓(𝑥). Os extremos relativos podem ocorrer apenas em pontos críticos. gráficos

Como fica f´(x) em cada caso? Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais f´(c)=0. Máximo Relativo Como fica f´(x) em cada caso? Mínimo Relativo Nem máximo nem mínimo Relativo

Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais não existe. Máximo Relativo Nem Máximo nem Mínimo Relativo Mínimo Relativo

O teste da derivada primeira para extremos relativos Podemos usar o sinal da derivada para determinar os pontos críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nenhuma coisa nem outra. Seja um número crítico de 𝑓(𝑥) (isto é, 𝑓´(𝑐)=0 ou 𝑓´(𝑐) não existe). Neste caso, o ponto crítico 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) é: Um máximo relativo se 𝑓´(𝑥)>0 à esquerda de c e 𝑓´(𝑥) <0 à direita de 𝑐. Um mínimo relativo se 𝑓´(𝑥)<0 à esquerda de c e 𝑓´(𝑥) >0 à direita de 𝑐. Um ponto ordinário se 𝑓´(𝑥)>0 ou 𝑓´(𝑥)<0 dos dois lados de 𝑐. Representar graficamente.

Exemplo Determine todos os números críticos da função: 𝑓(𝑥)=2𝑥4 −4𝑥²+3.

Aplicações Depois de determinar os intervalos nos quais a função f(x) é crescente ou decrescente e localizar os extremos relativos, podemos esboçar a curva da função. Segue uma descrição passo a passo do método para esboçar o gráfico de uma função contínua usando a derivada.

Método para esboçar um gráfico de uma função contínua 𝑓(𝑥) usando a derivada 𝑓´(𝑥) 1º passo: Determinar o domínio de 𝑓(𝑥). Construa uma reta de números restrita apenas aos números do domínio de 𝑓(𝑥). 2º passo: Determine 𝑓´(𝑥) e assinale os números críticos na reta de números obtida no 1º passo. 3º passo: Para cada número crítico c, calcule o valor de 𝑓(𝑐) e plote o ponto crítico 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) em um sistema de eixos coordenados, com uma “copa” ∩ em P se P for um máximo relativo (↗ ↘) ou um “copo” ∪ se P for um mínimo relativo (↘ ↗). Plote também os pontos correspondentes a interseções com eixos x e y e outros pontos fáceis de determinar. 4º passo: Desenhe o gráfico de 𝑓 como uma curva suave ligando os pontos críticos de tal forma que a curva suba nas regiões em que 𝑓´(𝑥)>0, desça das regiões em que 𝑓´(𝑥)<0 e tenha uma tangente horizontal nos pontos em que 𝑓´(𝑥)=0.

Exemplo Trace a curva da função 𝑓(𝑥)= 𝑥4+8𝑥3+18𝑥²−8.

Exercícios 1) Determine os intervalos em que a função está aumentando e diminuindo: a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +3 𝑥 2 +1 b) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 5 −5 𝑥 3 2) Determine os pontos críticos da função dada e classifique como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário: a) 𝑓 𝑡 = 10𝑡 6 +24 𝑡 5 −15 𝑡 4 +3 b) 𝑓 𝑥 =3− (𝑥+1) 3

3) Use os métodos de cálculo para traçar o gráfico da função dada: B) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 ( 𝑥+5) 2

4) O custo para produzir x unidades de uma mercadoria é C(x) milhares de reais, onde 𝐶 𝑥 = 𝑥 3 −20 𝑥 2 +179𝑥+242. A) Determine 𝐴´(𝑥), onde 𝐴(𝑥)= 𝐶(𝑥) 𝑥 é a função custo médio. B) Para que valores de x a função A(x) é crescente? Para que valores é decrescente? C) Para que nível de produção x o custo médio é mínimo? Qual é este custo?

5) Uma empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de um produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde 𝑆 𝑥 = −2 𝑥 3 +27 𝑥 2 +132𝑥+207 0≤𝑥≤17. A) Desenhe a curva de S(x). B) Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em publicidade? C) Quanto a empresa deveria investir em publicidade para maximizar as vendas? Qual é o nível máximo de vendas?