Capítulo 04: Condução Multidimensional em Regime Permanente

Introdução Exemplos de condução multidimensional: Métodos de solução Pilar: T = f (x, y) Lata (cilindro curto): T = f (z, r) Paralelipípedo: T = f (x, y, z) Métodos de solução Analíticos (solução exata da equação diferencial) Gráficos (tabelas e gráficos) Métodos numéricos (simulação numérica)

Métodos analíticos Equação da difusão de calor em coordenadas cartesianas Hipóteses: Condução bidimensional Ausência de geração de calor Regime permanente Propriedades constantes

Métodos analíticos Equação simplificada (Equação de Laplace bidimensional): Método da separação de variáveis Admitindo-se que

Métodos analíticos Dessa forma E assim Isolando-se as variáveis, tem-se Sendo λ2 uma constante (constante de separação).

Métodos analíticos Separando-se as variáveis, obtém-se Soluções gerais: As soluções particulares dependem das condições de contorno empregadas

Métodos analíticos Por exemplo, considerando-se as seguintes condições de contorno e geometria:

Métodos analíticos Obtém-se a seguinte solução analítica: Observa-se que, mesmo que a geometria seja mantida, para outras condições de contorno, novas expressões analíticas serão obtidas para a distribuição de temperaturas.

Fatores de forma Os fatores de forma (S) são uma forma rápida de se resolver diversos problemas de transferência de calor bi ou tridimensionais em regime permanente. Nesse caso, admite-se que a taxa de transferência de calor pode ser representada como

Fatores de forma Em termos de resistências térmicas, tem-se a seguinte expressão Nota-se que na maioria das situações a condução de calor ocorre entre contornos dos corpos envolvidos, cujas temperaturas são consideradas constantes.

Fatores de forma

Fatores de forma

Fatores de forma

Fatores de forma

Fatores de forma

Métodos numéricos Muitos problemas que envolvem geometrias e/ou condições de contorno complexas não podem ser resolvidas analiticamente. Nesse caso, recorre-se a outros métodos de solução, como os métodos numéricos. Vantagens dos métodos numéricos: Eficiência em relação ao tempo requerido Facilidade em se efetuar mudanças em parâmetros

Métodos numéricos Principais métodos empregados em fenômenos de transporte: Método das diferenças finitas (MDF); Método dos volumes finitos (MVF); Método dos elementos finitos (MEF); Método dos elementos de contorno (MEC), entre outros.

Métodos numéricos Etapas principais na obtenção de uma solução numérica: Discretização do domínio

Métodos numéricos Discretização do domínio Consiste em substituir o meio contínuo (domínio físico) em um conjunto de pontos discreto (domínio computacional), para os quais a solução do sistema de equações será obtida. Aproximação da equação diferencial A equação diferencial que modela o fenômeno estudado deve ser substituída por um sistema de equações algébricas, relacionado ao domínio discretizado.

Métodos numéricos Aproximação da equação diferencial Para muitos métodos numéricos, obtém-se então um sistema linear de equações do tipo Resolução do sistema de equações Deve-se escolher um método adequado para a resolução do sistema de equações obtido. Se o sistema for linear, pode-se recorrer a métodos diretos (como Eliminação de Gauss) ou a métodos iterativos (como Gauss-Seidel).

Método das diferenças finitas O método das diferenças finitas consiste em adaptar uma grade ou rede nodal (malha) sobre o domínio físico. Cada ponto da rede é chamado de nó ou ponto nodal, sendo identificado por índices únicos no domínio. Nos pontos nodais são realizadas as aproximações do modelo matemático, originando um sistema de equações lineares.

Método das diferenças finitas Para a obtenção das aproximações existem duas metodologias principais: Baseada na Série de Taylor Nesse caso, é feita uma expansão das funções em séries de Taylor, levando-se em consideração a malha gerada. Baseada no Balanço de Energia Nesse caso, é criado um volume de controle ao redor do ponto nodal e então, um balanço de energia para o volume gerado.

Método das diferenças finitas Em condições de regime permanente com geração de calor, tem-se a seguinte equação de balanço: Considerando-se o seguinte ponto nodal:

Método das diferenças finitas Obtém-se a seguinte expressão (onde i se refere aos nós vizinhos e considerando-se profundidade unitária): Taxa de transferência de calor para o nó m,n:

Método das diferenças finitas Taxa de transferência de calor para o nó m,n: Admitindo-se uma malha uniforme (Dx = Dy), tem-se então:

Método das diferenças finitas

Método das diferenças finitas