Sistemas de Equações Lineares

Em que situações devemos resolver um sistema de equações Resolver sistemas de equações é necessário em qualquer estudo onde se pesquise a interação de variáveis em determinado fenômeno ou experimento.

Exemplos Circuitos Elétricos: Descobrir as correntes. I1  I2 + I3 = 0

Exemplos Balanceamento de equações químicas wNH3 + x O2  yN2 + zH2O w = 2y 3w = 2z 2x = z

Exemplos Distribuição de temperatura numa placa “A temperatura em cada ponto interior P de uma placa metálica é aproximadamente a média aritmética das temperaturas nos pontos adjacentes a P.” 4t1 – t2 = 250  t1 + 4t2 – t3 = 50  t2 + 4t3 = 200

O que é uma equação linear? Equação com certo número de variáveis onde cada termo não pode ter grau diferente de 1. Exemplo: 3x + y – 6z + w = 3xy + 5z = 7 Produto de duas variáveis de grau 1 tem grau 2. Equivale x-1, o grau não é 1   

Sistemas de Equações Lineares Conjunto de equações lineares. Exemplos:   x + y – z = 7 x + y – 3z + w = 0 x – 2y + z = 8 2x – 4y + z = 0 x – y + z + 2w = 5 3x + y – z = 1 x + y = 3 2x – y – z – w = 3 x + y + z = 2 x – y – 3z = 13 3 equações 3 equações 4 equações 3 incógnitas 4 incógnitas 3 incógnitas

Tipos de solução Uma solução. Exemplo: x + y – z = 7 2x – 4y + z = 0 S={ }, ou seja, x = 8/3, y = 1/3 e z =  4.

Tipos de solução Infinitas soluções: Exemplo: x + y – 3z + w = 0 x – y + z + 2w = 5 2x – y – z – w = 3   Possui infinitas soluções, pois neste caso o sistema possui mais incógnitas do que equações. Algumas quádruplas que verificam o sistema: (13, 15, 9, -1) e (1, -2, 0, 1).

Tipos de solução Nenhuma solução Exemplo: x + y – z = 7 Absurdo! Não existe trio x, y e z que satisfaça essas equações ao mesmo tempo.

Classificação de um sistema em relação ao número de soluções: Possível e ... Sistema Impossível SI Determinado SPD Existe uma única solução. Existe infinitas soluções. Não existe solução. Indeterminado SPI

Sistemas de duas equações e duas incógnitas e sua interpretação geométrica Sistemas 2x2 são fáceis de resolver, seja qual for o método. Exemplo: Resolva, em lR: 2x+ y = 3 x – 2y = 4 S={(2,1)}

Interpretação Geométrica Cada equação linear de duas variáveis é a equação de uma reta: 2x+y=3  y =  2x + 3 (forma da função afim) coef. angular a =  2 coef. linear : b = 3 x – 2y = 4  coef. angular coef. linear: b =  2

Interpretação Geométrica Gráficos: 2x+ y = 3 x – 2y = 4 S={(2,-1)} A solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas representadas por essas equações. 2x+y=3 x-2y=4 P

Posição Relativa entre Retas Vimos um exemplo que as retas possuem um ponto de intersecção , associado ao conjunto solução do sistema: UMA ÙNICA SOLUÇÃO. Chamamos essa posição de: RETAS CONCORRENTES.

Posição Relativa entre Retas Exemplo: 6x – 3y = 1 2x – y = 3 Sistema Impossível. Como são as retas associadas às equações? Não possuindo intersecção , as retas são: PARALELAS. 6x-3y=1 2x-y=3

Posição Relativa entre Retas Exemplo: 2x + 2y = 8 x + y = 4 Infinitas soluções. São duas maneiras diferentes de apresentar a mesma equação. Nessa situação dizemos que as retas são COINCIDENTES. 2x+2y=8 x+y=4

Exercícios Resolva os sistemas abaixo e determine a posição relativa entre as retas relacionadas: (a) r: 3x + 4y = - 7 e s: x + y = -1 (b) t: 5x – 10y = 7 e r: x – 2y = 6 (c) v: 2x + 4y = 14 e u: x + 2y = 7 (d) s: 2x – 3y = 11 e v : 6x – 4y = 3.