UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CAMPUS DE FLORESTAL Resolução de algumas questões da 1ª Bimestral de Matemática de 2014 2ª Serie do Ensino Médio Prof. Ricardo Ferreira Paraizo

Questão 4 (ENEM 2013) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. (X) Solução: Ano População em milhões de habitantes 2000 363e0,03.0 2001 363e0,03.1 2002 363e0,03.2 ... 2030 363e0,03.30 360e0,9= 360(e0,3)3=360.(1,35)3 360.2,46885,6 milhões  490 510 550 620 780 800 860 885,6 910 810 870

Questão 6 (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A.(2,7)kt, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? Dica: pode usar k=-0,023  a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 (X)  Solução: Meia vida= 30 anos  Mf= M0 (A referida amostra de césio-137 reduzirá a metade em 30 anos)   Vamos chamar M(t) = Mf = Massa final e A = M0= Massa inicial A fórmula ficará então Mf = M0 (2,7)kt, Como em 30 anos a amostra ficará reduzida à metade teremos t= 30 e Mf = M0

Questão 6 – cont. da solução Daí poderemos obter o valor de k utilizando a equação dada: Mf = M0 (2,7)kt 0,5.M0= M0 (2,7)k.30   0,5= (2,7)k.30 log0,5= log(2,7)k.30 log0,5= 30k.log(2,7) k=

Questão 6 – cont. da solução II Como a pergunta foi: Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? Significa que precisamos encontrar o tempo em que a Mf=10%M0. Agora que temos o valor de k, poderemos responder a pergunta:

Questão 6 – cont. da solução III Mf = M0 (2,7)kt 0,1M0=M0. Rascunho log 0,1= log 10-1= -1.log10 = -1 log 0,5= log 1/2= log2-1 = -1log2=-0,3 O tempo necessário para que a referida quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? É de 100 anos.

Questão 7 an = a1+ (n-1).r a7 = 33000+ (7-1).1500 a7 = 33000+ (6).1500 (ENEM 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38 000 b) 40 500 c) 41 000 d) 42 000 (X) e) 48 000 MESES de 2010 NÚMERO DE PASSAGENS Janeiro (a1) 33000 Fevereiro (a2) 34500 Março (a3) 36000 ... Julho (a7) ? PA de razão 1500 an = a1+ (n-1).r a7 = 33000+ (7-1).1500 a7 = 33000+ (6).1500 a7 = 33000+ 9000=42000

Questão 8 Solução: PA de razão 1,25 a1 a2 a3 a4 ... 2021 a10 a10 (ENEM 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de: a) 497,25 b) 500,85 c) 502,87 d) 558,75 (X) e) 563,25 Solução: PA de razão 1,25 a1 a2 an = a1+ (n-1).r a10 = 50,25+ (10-1).1,25 a10 = 50,25+ (9).1,25 a10 = 50,25+ 11,25=61,5 a3 a4 Sn = (a1+an).n/2 S10 = (50,25+61,5).10/2 S10 = (111,75).5 S10 = 558,75 ... 2021 a10 a10 Resposta: A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de: 558,75 toneladas

Questão 10 Meses Total de mudas a1 500 a2 (500+ 10%500=500+50)=550 a3 Um agricultor resolve plantar alfaces no seu sítio, iniciou suas atividades plantando 500 mudas por mês e a cada mês a produção aumenta em 10% em relação ao mês anterior. O total de mudas de alface produzidas em 5 meses será de: a)1020 b)1040 c) 2010 d) 2040 e) 3050 (X) Meses Total de mudas a1 500 a2 (500+ 10%500=500+50)=550 a3 (550+ 10%.550=550+55)= 605 ... a5 Não necessita deste valor Nota: Numa sequência onde cresce em porcentagem, como nesse caso, a razão “q” será sempre (1 + x%de1) Veja porque: a1= x a2 =x+10%.x=1,1x a3= 1,1x+10%.1,1x=1,1x+0,11x=1,21x Note que temos uma PG de razão q=1,1 Ou seja 1+10%.1=1+0,1=1,1 PG de razão 1,1 Solução Sn= a1.(qn-1)/(q-1) S5= 500.(1,15-1)/(1,1-1) S5= 500.(1,61-1)/(0,1) S5= 500.(0,61)/(0,1) S5= 305/(0,1)=3050