Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8 ... 12 9 6 3 ... 5 5 5 5 ...

Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

Observe a construção da primeira seqüência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior: +2 +2 +2

Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas. Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

Assim na progressão aritmética, (2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente. (12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente. (5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

Termo Geral da Progressão Aritmética Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: a2 = a1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a3 = a2 + r Como: a2 = a1 + r tem-se que : a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r

O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: a4 = a3 + r Como a3 = a1 + 2r temos que : a4 = a1 + 2r + r logo a4 = a1 + 3r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: an = a1 + (n – 1) . r onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.

Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a10 =3 + (10–1).(-2) a10 = 3 + 9.(-2) a10 = 3 - 18 a10 = - 15

2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 200 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: 30 = a1 + (20–1).3 30 = a1 + 19.3 30 = a1 + 57 a1 = - 27

3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21. Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1) . r - 21 = 5 + 13 . r - 21 – 5 = 13. r - 26 = 13 . r r = - 2

4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,......,14). Primeiro calculamos a razão: r = 47– 50 r = -3 Substituindo na fórmula: 14 = 50 + (n – 1).(-3) 14 – 50 = (n -1).(-3) -36 = (n – 1).(-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P.A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Consideremos a P.A. finita de razão r: (a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an)) n/2 parcelas iguais a (a1 + an)

Então: em que: * a1 é o primeiro termo; * an é o enésimo termo; * n é o número de termos; * Sn é a soma dos n termos.

Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A. 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....). Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular an ou seja a50: a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S50 = 5000

2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2. Calculando a20 temos: a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38 Então, a20 = 39 Assim: Logo, S20 = 400

Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine: a) o termo geral dessa PA; b) o seu 15° termo; c) a soma a10 + a 20. a) Para encontrar o termo geral da progressão aritmética, devemos, primeiramente, determinar a razão r: r = a2 – a1 r = 17 – 10 r = 7 A razão é 7, e o primeiro termo da progressão (a1) é 10. Através da fórmula do termo geral da PA, temos: an = a1 + (n – 1). r an = 10 + (n – 1). 7 Portanto, o termo geral da progressão é dado por an = 10 + (n – 1). 7.

b) Como já encontramos a fórmula do termo geral, vamos utilizá-la para encontrar o 15° termo. Tendo em vista que n = 15, temos então: an = 10 + (n – 1). 7 a15 = 10 + (15 – 1). 7 a15 = 10 + 14 . 7 a15 = 10 + 98 a15 = 108 O 15° termo da progressão é 108. c) Vamos utilizar a fórmula do termo geral para identificar os elementos a10 e a 20 da PA: an = 10 + (n – 1). 7 a10 = 10 + (10 – 1). 7 a10 = 10 + 9 . 7 a10 = 10 + 63 a10 = 73 an = 10 + (n – 1). 7 a20 = 10 + (20 – 1). 7 a20 = 10 + 19 . 7 a20 = 10 + 133 a20 = 143 A soma a10 + a 20 é dada por: a10 + a 20 = 73 + 143 = 216

Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ metros. a) 55 b) 66 c) 165 d) 275 e) 330

Quando Tales passou pela primeira entrada, ele percorreu 11 metros; ao passar pela segunda entrada duas vezes, ele percorreu (11 . 2 ) 22 metros e dessa maneira Tales prosseguiu até que passou cinco vezes pela quinta entrada (11 . 5), percorrendo 55 metros. Podemos formar uma PA com essas informações, sendo que a1 = 11 e a5 = 55. Através da fórmula da soma dos termos de uma PA finita, podemos identificar quantos metros Tales andou: Sn = (a1 + an) . n        2 S5 = (11 + 55) . 5        2 S5 = 66 . 5        2 S5 = 165 Portanto, Tales andou um total de 165 metros e a alternativa correta é a letra c.

Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. b) 24. c) 26. d) 28. e) 31.

Para resolver essa questão, vamos identificar a progressão arimética que nos é dada no problema. Podemos considerar que cada coluna corresponde a um termo da sequência numérica, portanto, o primeiro termo é 1 (a1 = 1), o segundo é 2 (a2 = 2), o terceiro termo é 3 (a3 = 3) e assim sucessivamente até  o sétimo e último termo da sequência numérica (a7 = 7). Sabemos que a progressão possui sete elementos (n = 7) e temos conhecidos o primeiro e o último termo, logo, podemos usar a fórmula da soma dos elementos de uma PA: Sn = (a1 + an). n       2 S7 = (a1 + a7). 7       2 S7 = (1 + 7). 7       2 S7 = (1 + 7). 7       2 S7 = 8 . 7       2 S7 = 56        2 S7 = 28 Então há 28 cartas distribuídas nas fileiras. Como no baralho há 52 cartas, fazendo52 – 28 = 24, descobrimos que há 24 cartas no monte. A alternativa correta é a letra b. 

O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38.000 b) 40.500 c) 41.000 d) 42.000 e) 48.000

Resolução: Se considerarmos as quantidades de passagens vendidas como elementos de uma sequência numérica, podemos escrevê-los como:  janeiro: a1 = 33.000 fevereiro: a2 = 34.500 março: a3 = 36.000 Se fizermos a diferença entre os termos subsequentes, teremos a3 – a2 = 1.500, e a2 – a1 = 1500. Podemos então afirmar que essa é uma progressão arimética de razão 1500. Como consideramos que cada mês corresponde a um elemento da progressão aritmética e partindo da ideia de que janeiro corresponde ao primeiro elemento, podemos dizer que julho seria representado pelo termo a7. Sendo assim, podemos identificar o sétimo elemento da sequência numérica através da fórmula: an = a1 + (n - 1) . r a7 = 33.000 + (7 - 1) . 1.500 a7 = 33.000 + 6 . 1.500 a7 = 33.000 + 9.000 a7 = 42.000 Portanto, foram vendidas 42.000 passagens em julho. A alternativa correta é a letra d.