ME623 Planejamento e Pesquisa

Experimentos com um Único Fator (Completamente Aleatorizados)

Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis?

Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis)

Experimentos com um Único Fator One-Way ANOVA ANOVA = Analysis of Variance Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t se temos apenas um fator com 2 níveis? Em ANOVA geralmente temos o fator A com a tratamentos(níveis) Qual é então a motivação para ANOVA?

Teste t da aula anterior > y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57) > y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, - 1.27) > t.test(y1, y2, var.equal=TRUE) ANOVA: > grupo <- factor(rep(1:2, each=10), labels=c(“Supl", “Placebo")) fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo)

Vamos começar com um exemplo... Uma engenheira quer investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada para fazer camisetas. Ela sabe que a porcentagem de algodão na composição da fibra afeta a resistência. Será quer aumentar a porcentagem de algodão aumentará a resistência da fibra? A porcentagem de algodão deve ser entre 10 e 40% para que o produto final tenha outras características de qualidade desejáveis (como poder aplicar uma estampa)

Exemplo (cont.) Testar 5 níveis do percentual de algodão: 15, 20, 25, 30, e 35% Repetir o experimento 5 vezes para cada percentual Perguntas Quantos fatores? Qual é o fator? Quantos níveis? Quais são? Quantas replicações? Quantas UE são necessárias?

Aleatorização Por que mesmo que a aleatorização é importante? UE Ordem Ensaio % Algodão 1 8 20 2 18 30 3 10 4 23 35 5 15 6 7 14 25 . 22 16 24 19 % Algodão Ordem Ensaio 15 1 2 3 4 5 20 6 7 8 9 10 25 11 12 13 14 30 16 17 18 19 35 21 22 23 24 Por que mesmo que a aleatorização é importante?

Dados Experimentais % Algodão Observações Total Média 1 2 3 4 5 15 7 11 9 49 9.8 20 12 17 18 77 15.4 25 14 19 88 17.6 30 22 23 108 21.6 35 10 54 10.8 376 15.04 Resistência medida em lb/in2

Visualização dos Dados Figura: Boxplot da resistência para cada % de algodão Figura: Dotplot da resistência versus % de algodão Existe alguma indicação de que a porcentagem de algodão afeta a resistência da fibra sintética?

A Análise de Variância Queremos testar se existe diferença entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator A E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias? P(não rejeitar H0| H0 é verdadeira) = (1 − 0.05)10 = 0.60 P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40 O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância

A Análise de Variância (ANOVA) Representação típica dos dados em experimentos com um fator Tratamento ou Fator A (nível) Observações Totais Médias 1 y11 y12 . . . y1n 2 y21 y22 y2n . a ya1 ya2 yan

Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo:

Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Restrição:

Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Porque precisamos da Restrição?

Modelo As observações do experimento (variáveis aleatórias) são descritas através do modelo: Porque precisamos da Restrição? Temos k médias : média pop. do fator I k+1 parâmetros! Identificabilidade!

Efeito Fixo ou Aleatório? Efeito Fixo: os a tratamentos foram especi- ficamente escolhidos. Conclusões aplicam-se APENAS aos trata- mentos considerados na análise Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos. Conclusões podem ser estendidas à popu- lação de tratamentos

Formulando as Hipóteses Queremos testar a igualdade das médias dos a tratamentos, ou seja, Veja que Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se os efeitos dos tratamentos são nulos:

Notação

Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SST) Exercício: Demonstrar!!!

Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SST) SSA é a soma de que? SSE é a soma de que?

Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SST) SSA é a soma de que? Mede dif. média dos trat SSE é a soma de que? Sobra: devido ao erro

Graus de Liberdade das Soma de Quadrados Graus de Liberdade (gl) Explicação SSA a – 1 a níveis do Fator A SSE a(n – 1) = N – a n – 1 gl dentro de cada nível do fator A SST N – 1 N observações no total

Estimador de σ2 Soma de Quadrados dos Erros O termo entre colchetes dividido por é a variância amostral para o i-ésimo tratamento: Então um estimador de é dado por

Quadrados Médios (MS) Definição: Quadrado Médio do Erro (MSE) Quadrado Médio do Fator A (MSA)