ME623A Planejamento e Pesquisa

4. Experimentos em Blocos Blocos Completos e Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrado Latino Quadrado Greco-Latino Blocos Balanceados Incompletos Delineamento Cruzados

Experimentos em Blocos Em qualquer experimento, a variabilidade devido a um fator ruído pode afetar os resultados Fator ruído: fator que provavelmente tem um efeito na resposta, mas não estamos interessados no seu efeito Típicos fatores ruídos são: fonte de máteria- prima, diferentes operadores, pacientes em um estudo, turno ou dia em que o experimento é realizado

Experimentos em Blocos Bloco: conjunto de UE similares ou homogêneas Na agricultura: típico bloco é um conjunto contíguo de terrenos em que todas as condições (fertilidade, umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são homogêneos Estudos com humanos: sexo e faixa etária são geralmente definidos como blocos Fator Ruído Técnica a ser usada Desconhecido e Incontrolável Aleatorização Conhecido mas Incontrolável Análise de Covariância Conhecido e Controlável Blocagem

Experimentos Completamente Aleatorizados versus Blocos Completos Aleatorizados Instructors may wish to eliminate this slide and the subsequent related ones. These slides were included because the ANOVA and the F ratio (“F” for Fisher) are two major contributions of Fisher to the field (yes, the pun is intended!) of statistics. Fisher’s essay about a lady tasting tea may not seem to be related to Analysis of Variance. Yet even this essay mentions sources of variation: p. 1517, “let us imagine all causes of disturbance—” (in other words, all sources of variation) “the strength of the infusion, the quantity of milk, the temperature at which it is tasted, etc.” Fisher’s essay on the lady tasting tea is his attempt to teach people about experimental design by setting up a scenario that is familiar to the average person (a tea party). In the same way that Fisher’s tea party helps us understand experimental design, students will better understand Fisher’s contributions if they understand the context that was familiar to Fisher when he developed his ideas. It may be easier for students to understand the importance of partitioning variation through ANOVA techniques if they envision agricultural experiments that have a strong spatial component. Cada retângulo pontilhado é um bloco

Exemplo Considere um experimento em que uma máquina de medir a dureza de um material pressiona uma ponteira em uma placa de metal com força conhecida Medindo a profundidade do furo causado pela ponteira, podemos determinar a dureza da placa Temos quatro ponteiras e queremos determinar se existe diferença entre as leituras produzidas pela máquina para essas quatro ponteiras O experimentador irá obter quatro medições por ponteira

Exemplo Unidades Experimentais (UE): placas de metal Fator: tipo de ponteira Num experimento completamente aleatorizado, precisaríamos de 4x4=16 placas de metal Possível problema: as placas de metal podem apresentar pequenas diferenças na sua dureza Estas podem ter sido feitas por fundimentos que foram obtidos em diferentes aquecimentos Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo para a variabilidade da resposta O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório quanto a variabilidade entre as placas

Exemplo da Ponteira Placas de Metal (Bloco) 1 2 3 4 Ponteira 3 Ponteira 2 Ponteira 1 Ponteira 4 Iremos utilizar o delineamento “Blocos Completos Aleatorizados” Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o erro experimental

Blocos Completos Aleatorizados Fator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b 1 y11 y12 y1b 2 y21 y22 . . . y2b . a ya1 ya2 yab Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações são descritas através do modelo: Restrições:

Hipóteses de Interesse Assim como no experimento com um único fator, queremos testar se: Como a média do i-ésimo tratamento é podemos reescrever as hipóteses como:

Notação

Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total (SST) Exercício: Demonstrar!

Graus de Liberdade das SS Soma de Quadrados Graus de Liberdade (gl) Explicação SSA a – 1 a níveis do Fator A SSBlocos b – 1 b blocos SSE (a – 1) (b – 1) ab – 1 – (a – 1) – (b – 1) SST N – 1 N=ab observações no total Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que: são v.a. qui-quadrado independentes

Quadrados Médios (MS) Quadrado Médio do Erro (MSE) Quadrado Médio do Fator A (MSA) Quadrado Médio dos Blocos (MSBlocos)

Valor Esperados dos MS MSE é um estimador não viciado de σ2 Sob , MSA também é um estimador não viciado de σ2

Construção do Teste F Um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA Estatística do Teste Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se

Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados As SS podem ser simplificadas como: SSE é obtida pela subtração:

Comparação das Médias dos Blocos? Se comparássemos as médias dos blocos, poderí- amos verificar se a blocagem foi útil ou não As hipóteses seriam: Seria então natural usar como estatística do teste a razão entre MSBlocos e MSE Porém, lembre-se que a aleatorização foi aplicada apenas aos tratamentos dentro de cada bloco, isto é, os blocos representam uma restrição na aleatorização

Exemplo da Ponteira As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 9.3 9.4 9.6 10.0 9.8 9.9 9.2 9.5 9.7 10.2

Análise Estatística Exemplo das Ponteiras Queremos testar se: Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira

Análise Estatística Exemplo das Ponteiras

Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados Exemplo Ponteiras No R > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 *** factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 *** Residuals 9 0.080 0.008889 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Análise Estatística Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

Tabela ANOVA Experimento com Um Fator Exemplo Ponteiras Não Rejeita H0 No R, desconsiderando o efeito dos blocos > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196 Residuals 12 0.905 0.075417

Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18