ME623A Planejamento e Pesquisa

4. Experimentos em Blocos Blocos Completos Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Delineamento Cruzados Blocos Balanceados Incompletos

Delineamentos Cruzados (Crossover) Cada unidade experimental (UE) recebe todos os tratamentos sendo estudados Períodos de tempo são um fator no experimento De forma geral, existem a tratamentos a serem testados em a períodos de tempo usando na UEs Delineamento comumente usado em ensaios clínicos para testar medicamentos washout Trat 1 Obs Trat 2 Obs Tempo

Delineamentos Cruzados (Crossover) Caso mais simples: temos dois tratamentos (A e B) e cada indivíduo deve receber ambos Exemplo: uma indústria farmacêutica deseja testar o efeitos de dois medicamentos (A e B) em 10 pacientes Metade dos pacientes será submetida à sequência AB, enquanto a outra metade fará a sequência BA Entre uma medicação e outra, deve-se haver um intervalo, chamado de washout, para que o efeito residual do primeiro medicamento seja eliminado

Delineamentos Cruzados (Crossover) No 1º período, metade dos pacientes (escolhidos aleatoriamente) recebem medicamento A, enquanto a outra metade recebe medicamento B Depois do período de washout, quem recebeu o medicamento A no 1º período agora recebe medicamento B e vice-versa O experimento será analisado como um conjunto de 5 quadrados latinos 2x2 indivíduos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ordem A B

Delineamentos Cruzados (Crossover) As linhas representam os períodos de tempo As colunas representam os indivíduos (2 indivíduos por quadrado latino) Os indivíduos podem ser numerados de 1 a 10, como na figura, ou então como 1 e 2 dentro de cada quadrado. Nesse caso, dizemos que os indivíduos estão nested nos quadrados indivíduos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ordem A B

Tabela ANOVA – Delineamento Cruzado Mesma tabela que o Caso 2 dos QL com replicação

Delineamentos com Efeito Residual Utilizar quadrados latinos também em experimentos com efeito residual (carryover) No exemplo dos medicamentos A e B, suponha que a observação no 2º período para o medicamento B ainda reflita algum efeito do medicamento A tomado no 1º período

Blocos Incompletos Balanceados Em alguns experimentos com blocos aleatorizados, pode não ser possível rodar todas as combinações de tratamentos em cada bloco Lembrem do exemplo das ponteiras: quatro ponteiras furam uma placa de metal (bloco) e a profundidade do furo determina a dureza da peça Ponteira Placa 1 Placa 2 Placa 3 Placa 4 1 y11 y12 y13 y14 2 y21 y22 y23 y24 3 y31 y32 y33 y34 4 y41 y42 y43 y44

Blocos Incompletos Balanceados Suponha agora que seja possível furar cada placa de metal apenas em três lugares Então não podemos testar todas as ponteiras em cada placa Como analisar esse tipo de experimento? Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 9.3 9.4 --- 10.0 9.8 9.9 9.2 9.5 9.7 10.2

Blocos Incompletos Balanceados Quando nem todo tratamento está presente dentro de um bloco, temos Experimentos com Blocos Aleatorizados Incompletos Se além disso, quaisquer dois tratamentos aparecem juntos um mesmo número de vezes, temos Experimentos com Blocos Incompletos Balanceados (BIB) De forma geral, temos a tratamentos e b blocos. Além disso, cada bloco contém k tratamentos e cada tratamento ocorre r vezes no experimento (ou é replicado r vezes). O número total de observações é N = ar = bk

Blocos Incompletos Balanceados Então temos, O número de vezes que cada par de tratamentos aparece no mesmo bloco é O parâmetro λ deve ser um inteiro para que o experimento seja balanceado a = Número de tratamentos k = Tamanho dos blocos (k<a) b = Número de blocos r = Replicações de cada tratamento

Exemplo das Ponteiras As observações estão na tabela abaixo yi. y.j Temos um experimento com BIB, sendo a=4, b=4, k=3, r=3, λ=2 e N=12 Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 yi. 9.3 9.4 --- 10.0 28.7 9.8 9.9 29.0 9.2 9.5 28.1 9.7 10.2 29.9 y.j 28.2 29.3 30.1 y..=115.7

Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações são descritas da mesma forma que no modelo com blocos completos: Restrições:

Blocos Incompletos Balanceados A variabilidade total é particionada como: onde a SS dos tratamentos é ajustada para separar os efeitos dos blocos e tratamento Esse ajuste é necessário já que cada tratamento é representado num conjunto diferente de r blocos Então, a diferença entre os tratamentos é também afetada pelas diferenças entre os blocos

Cálculos das Somas de Quadrados A SSBlocos, com b – 1 graus de liberdade é: em que y.j é o total do j-ésimo bloco A SSA(ajust) é dada por: em que Qi é o total ajustado para o i-ésimo tratamento, calculado como:

Cálculos das Somas de Quadrados com Note que Como antes, a SSE é calculada por subtração com N – a – b + 1 graus de liberdade A estatística do teste para testar igualdade das médias dos tratamentos é:

Tabela ANOVA Blocos Incompletos Balanceados Exercício: Use o exemplo das ponteiras com blocos incompletos balanceados e construa a tabela ANOVA

Exemplo das Ponteiras As observações estão na tabela abaixo yi. y.j Temos um experimento com BIB, sendo a=4, b=4, k=3, r=3, λ=2 e N=12 Ponteira Placa de Metal (Bloco) 1 2 3 4 yi. 9.3 9.4 --- 10.0 28.7 9.8 9.9 29.0 9.2 9.5 28.1 9.7 10.2 29.9 y.j 28.2 29.3 30.1 y..=115.7

Análise Estatística - BIB Exemplo das Ponteiras A SST e SSBlocos são calculadas da seguinte forma:

Exemplo das Ponteiras Para calcular a SSA(ajustado), precisamos primeiro determinar os totais dos tratamentos ajustados: Daí podemos calcular a SSA(ajustado)

Tabela ANOVA - Blocos Incompletos Balanceados Exemplo Ponteiras Por fim, calculamos a SSE Tabela ANOVA Como o p-valor é pequeno (0.019), concluímos que a ponteira tem um efeito significativo na dureza do material

Desenho de Quadrado de Youden Willian J. Youden Propôs o modelo para um estudo de plantas de tabaco Tratamentos foram aplicados à folhas no topo, meio e parte baixa de 7 plantas de tabaco (blocos).

Desenho de Quadrado de Youden Tratamentos ficam faltando em blocos Em geral, este modelo pode ser construído de um desenho de blocos incompletos balanceado reorganizando os tratamentos de tal forma que cada tratamento é assinalado para cada posição o mesmo número de vezes.

Desenho de Quadrado de Youden

Desenho de Quadrado de Youden Usar o ajustado quando for de interesse testar o bloco. Ele é obtido abrindo a soma dos quadrados totais de forma diferente.

Desenho de Quadrado de Youden