PLANO CARTESIANO Produção: Patrizia Lovatti

Representando pares ordenados de reais

O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na última prova que ele aplicou. Nota Nº do aluno 8 9 10 4 5 6 7 1 3 2

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados 8 9 10 4 5 6 7 Nota Nº do aluno 1 3 2

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1,8)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1,8) (2,9)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (1,8) (2,9)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7) (6,6)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7) (6,6) (7,5)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7) (6,6) (7,5) (8,7)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7) (6,6) (7,5) (8,7) (9,8)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nota Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (3,10) (4,6) (1,8) (2,9) (5,7) (6,6) (7,5) (8,7) (9,8) (10,4)

Nessa representação, convencionamos que o 1º elemento de cada par indica o número do aluno e o 2º elemento, a nota que ele tirou. Os pares (5,7) e (7,5), por exemplo, são diferentes. Apesar de serem constituídos pelos mesmos elementos, eles estão dispostos numa ordem diferente.

Em um par ordenado qualquer (a,b), chamamos a - abscissa b - ordenada a e b - coordenadas No par ordenado (5,7), por exemplo, a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as coordenadas são 5 e 7.

Qual a condição para que os pares ordenados (a,b) e (b,a) sejam iguais? R: a deve ser igual a b

Pode ocorrer a igualdade (3, x+y) = (x-y,-5) ? R: Sim

Para que valores de x e y ? R: Para x = -1 e y = -4

Observe: (3, x+y) = (x-y,-5) 3 = x-y x+y=-5 y = x-3 y=-4 y=-1-3 Substitui-se na 2ª: x+(x-3)=-5 2x=-2 x=-1

Vamos estudar agora, de modo especial, o conjunto dos pares ordenados de nos reais. Ele é representado por R2 e pode ser definido assim: R2 = {(x,y); x e R e y e R} Por exemplo, -3 e R e 2 e R (-3,2) e R2

Você já sabe que os nos reais podem ser associados a pontos de uma reta - a reta real ou eixo real. Os pares ordenados de números reais podem,também, ser associados a pontos. Essa correspondência se dá por meio do plano cartesiano. O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares, que se interceptam na origem O de cada um deles.

. . y b x a O eixo horizontal (x) é o eixo das Ordenadas . P (a,b) a b Abscissas O (0,0) . Origem O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima.

Observe os pares ordenados abaixo. C (2,-1) D (9/2,1) E (7,0) F (0,3) G (p,5) H (-3,0) I (-6,-7/2) Na figura seguinte, vamos marcar os pontos correspondentes a esses pares ordenados.

. . . . . . . . . y G A F D H E x C B I A (-7,4) D (9/2,1) G (p,5)

. . . . . . . . . Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do eixo y têm abscissa nula (F). . . x y G . A F . . . D H . . E C . B I

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. x y 2º quadrante (-,+) 1º quadrante (+,+) 3º quadrante (-,-) 4º quadrante (+,-)

O plano cartesiano estabelece, portanto, uma correspondência entre ponto e par ordenado de reais, de forma que A cada ponto do plano está associado um único par ordenado de reais; A cada par ordenado de reais está associado um único ponto do plano.

Sendo a e b nos reais não-nulos, em que quadrante está o ponto (-a,b) ? R: Não é possível saber. Observe os quatro exemplos: a=1 e b=2 (-a,b)=(-1,2) 2º Q a=1 e b=-2 (-a,b)=(-1,-2) 3º Q a=-1 e b=2 (-a,b)=(1,2) 1º Q a=-1 e b=-2 (-a,b)=(1,-2) 4º Q

Podem dois pares ordenados distintos serem representados pelo mesmo ponto do plano cartesiano ? R: Não

INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES No universo as coisas dependem umas das outras. É essa relação de dependência que faz do mundo um organismo vivo, dinâmico, cujos elementos se comunicam, se relacionam e interagem continuamente.

Velocidade Altura Peso Estudar, representar e analisar as relações de dependência entre as grandezas é o objetivo básico da Ciência, desde os seus primeiros momentos. GRANDEZAS Velocidade Altura Peso

Quando se solta uma pedra, ela cai. Por que ela cai? O que provoca sua queda? O que ocorre com sua velocidade durante a queda? E ao se soltar uma pedra mais pesada? Muda alguma coisa? E se a mesma experiência fosse feita na superfície da Lua?

Ao estudar um fenômeno natural, a preocupação básica da Ciência é descobrir os fatores que nele influem e analisar de que forma essa influência se dá.

Nesse processo, as variáveis envolvidas são geralmente relacionadas por meio de fórmulas, tabelas ou gráficos.

. . . . . Ex.1: Fórmula: y = 2x + 4 Tabela: Gráfico: Função de 1º grau: Reta . x y 1 6 -3 -2 4 2 8 . . .

. . . . . Ex.2: Fórmula: y = x2 + 1 Tabela: Gráfico: Função de 2º grau: Parábola x y 1 2 -2 5 -1 . . . . .

Função – uma lei Fórmula: y = 2x + 4 1 -2 2 -3 6 4 8 -2 Domínio 2 -3 6 4 8 -2 Domínio Contra-domínio

Função – representação f: A B Domínio Contra-domínio

E a imagem? Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e B={2;4;6;8} e a função f: A B representada por f(x)=2x. Observe o diagrama que representa f. 1 2 3 4 6 8

E a imagem? Domínio = A={1;2;3} Contra-domínio = B={2;4;6;8}

Função – uma máquina

2 7 Máquina de dobrar 2 4 14

O que é? É um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y, se relacionam de tal forma que: x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado; a cada valor de x corresponde um único valor de y em um dado conjunto B; os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

x1 x2 x3 y1 y2 y3 É função. x1 x2 x3 y1 y3 É função.

x1 x3 y1 y2 y3 Não é função. x1 x2 x3 y1 y2 Não é função.