TEORIA AXIOMÁTICA DOS CONJUNTOS SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE ALEPHS Equipe: Everton Marques Patrícia Lustosa

|X| + |Y| = |X U Y| se X M Y = Ø Adição de Cardinais Iniciaremos relembrando as definições de adição e multiplicação de cardinais. Seja k e λ números cardinais. Definimos anteriormente k + λ como a cardinalidade do conjunto X U Y, onde |X| = k, |Y| = λ, e X e Y são disjuntos : |X| + |Y| = |X U Y| se X M Y = Ø Além disso, vimos também que essa definição não depende da escolha de X e Y

Multiplicação de cardinais O produto k . λ foi definido como a cardinalidade do produto cartesiano X x Y, onde X e Y são dois conjuntos quaisquer com cardinalidade k e λ respectivamente. |X| . |Y| = |X x Y| Novamente, essa definição independe da escolha de X e Y.

Regras aritméticas da adição e multiplicação de cardinais Vimos também que a soma e a multiplicação de cardinais satisfazem algumas regras aritméticas tais como comutatividade, associatividade e distributividade: k+ λ = λ + k k . λ = λ . K k + (λ + µ) = (k + λ) + µ k . (λ . µ) = (k . λ) . µ k . (λ + µ) = k . λ + k . µ Se k e λ são cardinais finitos, então as operações k + λ e k . λ coincidem com as operações aritméticas de ordinais Cardinais finitos, isto é, números naturais

Aritmética de números infinitos A aritmética de números infinitos difere bastante da aritmética de números finitos. As regras de adição e multiplicação de alephs são bem simples: Ν0 + n = Ν0 Isso é verdade para todo número natural n. Ν0 + Ν0 = Ν0 Por exemplo, podemos ver o conjunto dos naturais como a união de dois conjuntos disjuntos contáveis (pares e ímpares). Ν0 . Ν0 = Ν0 O conjunto de todos os pares de números naturais é contável. Ν0 + n = Ν0 é verdade para todo número natural n, pois se adicionarmos n elementos a um conjuntos contável, o resultado é um conjunto contável.

Teorema 2.1: Nα . Nα = Nα, para todo α. Dadas as operações mostradas anteriormente, podemos provar um teorema geral que determina completamente o resultado da adição e multiplicação de alephs: Teorema 2.1: Nα . Nα = Nα, para todo α. Antes de provarmos esse teorema, é necessário vermos as conseqüências da adição e multiplicação de números cardinais, através de 2 corolários que serão mostrados adiante.

Corolário 2.2 Nα . Nβ = Nβ . n + Nα = Nα, Corolário 2.2: Para todo α e β tal que α < β, temos: Nα . Nβ = Nβ . Então, n + Nα = Nα, para todo número natural n . Prova: Se α < β, de um lado nós temos que: Nβ = 1 . Nβ < Nα . Nβ e por outro lados temos que: o teorema 2.1 diz que Nα . Nβ < Nβ . Nβ = Nβ. Então, pelo teorema de Cantor-Bernstein Nα . Nβ = Nβ. A outra igualdade é provada da similarmente.

Nβ < Nα + Nβ < Nβ + Nβ = 2. Nβ = Nβ Corolário 2.3 Corolário 2.3: Para todo α e β tal que α < β, temos: Nα + Nβ = Nβ Então, n + Nα = Nα para todo número natural n. Prova: Se α < β, então: Nβ < Nα + Nβ < Nβ + Nβ = 2. Nβ = Nβ A segunda parte é provada similarmente.

Prova do teorema 2.1 (I) Provaremos o teorema 2.1 por indução transfinita. Para todo α, construímos uma certa well-ordering < do conjunto ωα x ωα, e mostra usando a hipótese da indução Nβ . Nβ < Nβ para todo α < β, que a ordenação do conjunto bem-formado (ωα x ωα, <) é pelo menos ωα. Então segue que Nα . N α < N α, e também Nα . N α > N α, então temos que Nα . N α = N α. Construímos a boa-ordenação < de ωα x ωα uniformemente para todo ωα; isto é, definimos a propriedade < dos pares de ordinais e mostramos que < bem-ordena ωα x ωα para todo ωα.

Prova do teorema 2.1 (II) Nós dizemos que (α1 , α2) < (β1 , β2) se e somente se: max{α1 , α2} < max{β1 , β2}, ou max{α1 , α2} = max{β1 , β2} e α1 < β1, ou max{α1 , α2} = max{β1 , β2}, α1 = β1 e α2 < β2. Agora mostramos que < é uma well-ordering (para qualquer conjunto de pares de ordinais). Primeiro temos que mostrar que < é transitiva. Seja α1, α2, β1 , β2, γ1, γ2 tal que (α1 , α2) < (β1 , β2) e (β1 , β2) < (γ1, γ2) . Segue da definição de < que max{α1 , α2} < max{β1 , β2} < max{γ1, γ2} . Então max{α1 , α2} < max{γ1, γ2} . Se max{α1 , α2} < max{γ1, γ2}, então (α1 , α2) < (γ1, γ2) .

Prova do teorema 2.1 (III) Então assuma que: max{α1 , α2} = max{β1 , β2} = max{γ1, γ2} . Então temos que α1 < β1 < γ1, então α1 < γ1. Se α1 < γ1, então (α1 , α2) < (γ1, γ2) ; Por outro lado, temos α1 = β1 = γ1. Neste último caso, max{α1 , α2} = max{β1 , β2} = max{γ1, γ2}, e α1 = β1 = γ1, então, necessariamente, α2 < β2 < γ2, então obtemos novamente que (α1 , α2) < (γ1, γ2). Depois verificamos que para todo α1, α2, β1 , β2 temos: (α1 , α2) < (β1 , β2) (α1 , α2) > (β1 , β2) (α1 , α2) = (β1 , β2) Lembrando que esses 3 casos são mutuamente excludentes

Prova do teorema 2.1 (IV) O que foi dito anteriormente segue diretamente da definição: Dados (α1 , α2) e (γ1, γ2), comparamos primeiro os ordinais max{α1 , α2} e max{β1 , β2}, depois os ordinais α1 e β1, e por último α2 e β2. Agora mostramos < é uma boa-ordenação. Seja X um conjunto não-vazio de pare de ordinais; nós encontramos o <- elemento mínimo de X. Seja δ o menor máximo dos pares em X, isto é, seja δ o elemento mínimo do conjunto {max{α , β}|(α , β) Є X}. Então temos: Y = {(α , β) Є X | max{α , β} = δ}.

Prova do teorema 2.1 (V) O conjunto Y é um subconjunto não-vazio de X, e para todo (α , β) Є Y nós temos max{α , β} = δ; Então, δ < max{α’ , β’} para todo (α’ , β’) Є X – Y e segue que (α , β) < (α’ , β’) desde que (α , β) Є Y e (α’ , β’) Є X – Y. Então, o elemento mínimo de Y, se existir, é também o elemento mínimo de X. Agora, seja α0 o menor ordinal no conjunto {α | (α , β) Є Y para algum β}, e seja: Z = {(α , β) Є Y | α = α0} . O conjunto Z é um subconjunto não-vazio de Y, e temos (α , β) < (α’ , β’) desde que (α , β) Є Z e (α’ , β’) Є Y – Z.

Prova do teorema 2.1 (VI) Finalmente seja β0 o menor ordinal no conjunto {β | (α0 , β) Є Z}. Claramente (α0 , β0) é o elemento mínimo de Z, e conseqüentemente o elemento mínimo de X. Mostrado que < é uma well-ordering de ωα x ωα para todo α, nós usamos essa well-ordering para provar, por indução transfinita sobre α, que |ωα x ωα| < Nα, isto é, Nα . Nα < Nα. Já foi provado anteriormente que que N0 . N0 = Nα, então nossa afirmação é verdade para α = 0; Vamos assumir que Nβ . Nβ < Nβ para todo β < α.

X = { (ξ1 , ξ2) Є ωα x ωα | (ξ1 , ξ2) < (α1 , α2)} Prova do teorema 2.1 (VII) Provaremos que |ωα x ωα| < Nα. Isto é suficiente para mostrar que o order-type do conjunto bem-ordenado (ωα x ωα, <) é no máximo ωα. Se o order-type de ωα x ωα for maior que ωα então existiria (α1 , α2) Є ωα x ωα tal que a cardinalidade do conjunto X = { (ξ1 , ξ2) Є ωα x ωα | (ξ1 , ξ2) < (α1 , α2)} é pelo menos Nα. Isto é suficiente para provar que para qualquer (α1 , α2) Є ωα x ωα, nós temos |X| < Nα. Seja β = max{α1 , α2} + 1. Então β Є ωα, e, para todo (ξ1 , ξ2) Є X nós temos max{ξ1 , ξ2} < max{α1 , α2} < β, então ξ1 Є β e ξ2 Є β. Em outras palavras X C β x β.

Prova do teorema 2.1 (VIII) Seja γ < α tal que |β| < Nγ. Então |X| < |β x β| = |β| . |β| < Nγ . Nγ, e pela hipótese da indução, Nγ . Nγ < Nγ. Então, |X| < Nγ, e conseqüentemente, |X| < Nα como dito anteriormente. Então, agora segue que |ωα x ωα| < Nα. Com isso, provamos por indução transfinita sobre α, que Nα . Nα < Nα para todo α. Como temos que Nα < Nα . Nα, nós temos que Nα . Nα = Nα, e a prova do teorema 2.1 está completa.

Exercícios