Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos 6.1 - Equações de Euler 6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente 6.3 – Equação de Bernoulli 6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli 6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente 6.6 – Escoamento irrotacional

6.1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito Equações de Euler :

Se a coordenada z for orientada verticalmente:

Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:

6.2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente

Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa: Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:

6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente 6.3.1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente: Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds: variação de pressão ao longo de s variação de elevação ao longo de s variação de velocidade ao longo de s

Para massa específica constante (escoamento incompressível) : (ao longo de s) Para massa específica constante (escoamento incompressível) : Restrições: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Escoamento sem atrito (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente

(Distância ao longo de uma linha de corrente) 6.3.2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares (Regime permanente) (Distância ao longo de uma linha de corrente) Sendo tem-se:

Expressão obtido no cálculo vetorial: E, uma vez que é paralelo a , fica :

6.3.3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica Pressão de estagnação : (Escoamento incompressível) Pressão dinâmica : Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica

Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação Medição de pressão estática Tomada de pressão na parede Pequenos orifícios Sonda de pressão no escoamento Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação Medição de pressão de estagnação Tubo de Pitot

Determinar: A velocidade do escoamento Problema exemplo: Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado. O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio. Determinar: A velocidade do escoamento

6.3.4 - Aplicações Bocal (com ar) Determinar: p1 - patm

Sifão (com água) Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre) (b) pressão no ponto A do escoamento

A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.

6.4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli Fazendo : Considerando regime permanente : Para um tubo de corrente:

Processos reversíveis (isoentrópico) ideais: Processos irreversíveis reais: Escoamento ideal sem perdas (eq. de Bernoulli) Escoamento real

altura de carga devido a pressão estática local Eq. de Bernoulli altura de carga devido a pressão estática local altura de carga devido a elevação (ou cota) altura de carga devido a pressão dinâmica altura de carga total do escoamento

linha de energia e linha piezométrica Conceito de linha de energia e linha piezométrica linha piezométrica: representa a soma das alturas de carga de pressão estática e de elevação.

6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente

6.6 – Escoamento irrotacional Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação Coordenadas cilíndricas:

6.6.2 – Potencial de Velocidade Pode-se formular uma relação chamada função potencial, f, para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde f é uma função escalar: Define-se f , função potencial , cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um: Em coordenadas cilíndricas :

6.6.3 – Função Corrente e Potencial de Velocidade Escoamento bidimensional, incompressível e invíscido : Função corrente: Potencial de velocidade: Condição de irrotacionalidade: Conservação da massa:

Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente: A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de y constante) é dada por: Ao longo de uma linha de f constante, d f = 0 : A inclinação de uma linha potencial (uma linha de f constante) é dada por:

Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento. Componentes u e v do escoamento: Se o escoamento é irrotacional wz = 0. Condição de irrotacionalidade: escoamento é irrotacional

Componentes u e v do escoamento: Definição de Potencial de velocidade: como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:

6.6.4 – Escoamentos planos elementares G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento Uniforme: G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento tipo Fonte (a partir da origem): A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade

G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem): A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem): A origem é um ponto singular K é a intensidade do vórtice