G R U P O S

* PRIMEIRAS PROPRIEDADES Definição 1 Definição 2 Um grupo (G, *) é um conjunto fechado para a operação binária * e que satisfaz os seguintes axiomas: (I) A operação * é associativa; (II) Existe um elemento n  G (elemento neutro) tal que n * x = x * n = x, para todo x    G; (III) Para todo a   G, existe um elemento a’    G (inverso de a) tal que a * a’ = a’ * a = n; F GRUPO * A N I Definição 2 C (abeliano) Um grupo G diz-se abeliano se a operação binária * é comutativa.

EXEMPLOS 1 - A estrutura (Z+, +) não é um grupo pois não existe elemento neutro. 2 - A estrutura (N, +) não é um grupo pois não existe inverso. 3 - As estruturas (R, +), (Z, +), (Q, +) e (C, +) são grupos. 4 -  O conjunto das funções reais de variável real com a adição de funções é um grupo. Este grupo é abeliano. 5 - O conjunto das matrizes de tipo m X n, m, n  N, com onde cada aij   R é um grupo abeliano para a adição de matrizes. O elemento neutro é a matriz onde todo aij = 0 e a inversa aditiva de A é (-A). 6 - O conjunto de todas as matrizes de tipo n X  n com a operação multiplicação de matrizes não é um grupo, pois somente as matrizes com determinante não nulo têm inverso. 7 - O subconjunto das matrizes n X n inversíveis (determinante não nulo) com a operação multiplicação de matrizes é um grupo. Este grupo não é abeliano.

PROPRIEDADES P1 – Em um grupo (G, *), o elemento neutro é único e cada elemento possui um único inverso. P2 - Em um grupo (G, *) é válida a lei do corte (cancelamento). P3 - Sendo a e b elementos de (G, *), as equações a * x = b e y * a = b têm, cada uma delas, uma única solução em G. Estas propriedades foram demonstradas para os grupóides. EXEMPLOS 1 - Em (Z, +) é válida a lei do cancelamento. 3 + b = 5 + 3  b = 5 2 - No monóide multiplicativo (Z12, X) não é válida a lei do cancelamento. 3 x 2 = 3 x 6 = 6, mas 2  6. A equação 3 . x = 6 tem 3 soluções em Z12: 2, 6 e 10. A equação 3 . x = 2 não tem solução em Z12.

3 – Na adição de matrizes é verificada a lei do cancelamento. 4 – A lei do cancelamento não é válida para o produto de matrizes. A x B = C x B  A  C. 1 5 2 2 1 2 x = 3 2 4 3 São diferentes A lei será válida quando B for inversível. A x B = C x B  A x (B x B-1) = C x (B x B-1)  A x I = C x I  A = C. 5 – Na multiplicação de reais por zero, não é válida a lei do cancelamento. 4 x 0 = 6 x 0, mas 4  6.

* GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS Definição 1 -  Chama-se ordem de G ao número de elementos de G. Escreve-se |G| ou O(G) ou ainda card(G). Definição 2 - Um grupo G diz-se finito se tiver um número finito de elementos. Se G for um grupo infinito escreve-se |G| = . Um grupo finito, (G, *) onde G = {x1, x2, ..., xn} pode ser representado por uma tabela n X n com duas entradas onde cada elemento (ou entrada) (i, j) é xi * xj. x1 x2 x3 .... xn x1 x2 x3 ... xn * Linha de topo x2 * x3 x3*xn

* PROPRIEDADES DA TABELA Deverá existir um elemento desse conjunto, denotado por n, que desempenhará o papel da identidade (ou neutro) do grupo. n a b c n a b c * n a b c n a b c n (2) A condição n * x = x exige que na linha correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na linha de topo. n (3) A condição x * n = x significa que na coluna correspondente ao elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem em que se encontram na coluna esquerda. (4) O elemento a tem inverso c à direita quando na célula correspondente ao cruzamento da linha de a com a coluna de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (a*c = n) (5) O elemento a tem inverso c à esquerda quando na célula correspondente ao cruzamento da coluna de a com a linha de seu inverso c aparece o elemento neutro n. (c * a = n)

 (6) As equações a * x = n e y * a = n devem ter solução única. Deste modo, em cada linha e em cada coluna, cada elemento do conjunto deve aparecer apenas uma vez. (7) O grupo é comutativo se a tabela for simétrica em relação à diagonal principal, ao considerar a tabela como uma matriz. (8) Não há como verificar a associatividade a partir de visualização da tabela. A associatividade deve ser comprovada caso a caso.              RESPONDA             1 – Existe elemento? Se afirmativo, qual é ele? Justificar. 2 -  é comutativa? Justificar. 3 – Todos os elementos têm inverso? Justificar. 4 – Qual é o inverso do elemento ? 5 – Resolva a equação:     x =   

ALGUNS GRUPOS FINITOS 1 – Classes residuais módulo k: Zk {0, 1, 2, ... k – 1} (a) (Zk, +) é um grupo. Z – conjunto dos nº inteiros. x - multiplicação (b) (Zk, x) não é um grupo. (c) (Zk – {0}, x) é um grupo se k for primo. 2 - Permutações dos elementos do conjunto A. (P(A), ) é um grupo. 3 – Conjuntos R(n) das raízes complexas da equação xn – 1 = 0. As raízes ´”n” de 1 são obtidas pela expressão cos + i.sen 360ºk + 90º n fazendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1. (R(n), x) é um grupo. Todos os grupos acima são abelianos.