ENG309 – Fenômenos de Transporte III UFBA – Universidade Federal da Bahia ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE Introdução Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo. Objetivo ● Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente; ● Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança.

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE 5.1. Método da Capacitância Global Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. Rcond pequena Rconv grande Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente

5.1. Método da Capacitância Global Aplicando a equação da Energia (5.1) (5.2) Fazendo (5.3) Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais e onde (5.4)

5.1. Método da Capacitância Global Efetuando as integrações (5.5) ou (5.6)

5.1. Método da Capacitância Global Interpretando como uma constante de tempo térmica: (5.7) onde - Resistência a transferência de calor por convecção - Capacitância térmica global do sólido

5.1. Método da Capacitância Global A distribuição de temperatura fica:  Qualquer aumento em Rt ou Ct causará uma resposta mais lenta do sólido a mudanças em seu ambiente térmico.  Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando uma capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC

5.1. Método da Capacitância Global Para determinar o total de energia transferida Q Substituindo da equação (5.6) integrando Obs.:

5.1. Método da Capacitância Global ou ou ainda finalmente (5.8a)

5.1. Método da Capacitância Global Q está relacionada com a variação de energia interna do sólido (5.8b)

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Seja considerada a figura a seguir Para regime estacionário Rearranjando (5.9) onde É o Número de Biot

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido Para a utilização do Método da Capacitância Global, deve-se ter: (5.10) onde Escala de comprimento correspondente a máxima diferença espacial de temperatura

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Por conveniência define-se: onde Volume do sólido Área superficial do sólido

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Retomando a equação (5.6) Escrevendo o expoente da equação em função de Lc Multiplicando o numerador e o denominador por Lck

5.2. Validade do Método da Capacitância Global Definindo e lembrando que resulta: (5.13) Então

Exemplo 5.1 Uma placa de alumínio [k=160W/(moC), r =2790 kg/m3, cp=0,88kJ/(kg oC) ] com L=3cm de espessura e uma temperatura uniforme T0=225 oC é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante Too =25 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m2 oC). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC.

Exemplo 5.1  Verificação do número de Biot A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor que 0,1 Utilizando a equação (5.6)

Exemplo 5.1  substituindo os valores

Exercícios Exercício 5.5 do Incropera Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento lento até 400K em um ambiente com ar a T∞=325K e h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40W/mK, =7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.

Exercícios Exercício 5.7 do Incropera O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oC antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a temperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55oC após 69s da inserção da esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de calor.

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Seja considerada a figura a seguir

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Aplicando o balanço de energia, tem-se: (5.14) (5.15)

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e de convecção na equação (5.15), ou seja: (5.16) Separando as variáveis e aplicando a integral (5.17)

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Repetindo a equação Efetuando a integral, resulta: (5.18) Obs.:

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Para a situação onde Tviz=0 (radiação para o espaço infinito) , da equação (5.17) Resolvendo, tem-se: (5.19)

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Outra situação onde se pode encontrar uma solução exata ocorre se, na equação (5.15), for desprezada a radiação e se h for independente do tempo. Nessa situação: (5.15) (5.20) Onde: , e

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Eliminando a não homogeneidade pela introdução da transformação: (5.21) Torna-se: (5.22) Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( até ) (5.23)

5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Substituindo as definições de e , (5.24) Donde (5.25)

5.4. Efeitos Espaciais Quando os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis a aplicação do Método da Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de abordagem devem ser utilizadas. Em problemas de condução transiente de calor uma alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida no Capítulo 2. No caso de coordenadas retangulares a equação de calor tem a forma: (2.17)

5.4. Efeitos Espaciais Considerando uma parede plana, sistema unidimensional, sem geração interna e k constante, a equação de calor toma a forma: (5.26) Para resolver a equação (5.26) é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno: (5.27) (5.28) (5.29)

5.4. Efeitos Espaciais As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros físicos, como segue: Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o tratamento do problema a adimensionalização das equações pode ser utilizada, como segue:

5.4. Efeitos Espaciais Temperaturas adimensional Coordenada espacial adimensional Tempo adimensional

5.4. Efeitos Espaciais A equação da condução de calor juntamente com as condições de contorno na forma adimensional tomam a forma (5.34) Condições iniciais e de contorno. (5.35) (5.36) (5.37)

5.4. Efeitos Espaciais A dependência funcional fica: (5.38) Comparando com a equação (5.30) Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de e

5.5. A Parede Plana com Convecção Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperatura inicial uniforme submetido subitamente a condições convectivas.

5.5. A Parede Plana com Convecção 5.5.1. Solução exata A solução da equação (5.34) com as condições iniciais e de contorno dadas pelas equações de (3.35), (5.36) e (5.37) é dada por: (5.39a) Onde: (5.39b) (5.39c)

5.5. A Parede Plana com Convecção 5.5.2. Solução aproximada Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série (5.40a) ou (5.40b) onde

5.5. A Parede Plana com Convecção 5.5.3. Transferência total de energia fazendo: segue ou

5.5. A Parede Plana com Convecção 5.5.3. Transferência total de energia Adimensionalisando com a grandeza resulta Utilizando * dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:

5.6. Sistemas Radiais com Convecção Para um cilindro ou uma esfera com raio ro (Figura 5.6b) inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser obtidos. Figura 5.6b: Cilindro infinito ou esfera.

5.6. Sistemas Radiais com Convecção 5.6.1. Soluções Exatas  Cilindro Infinito (válido para L/ro10) (5.47a) (5.47b) (5.47c) J1 e Jo são funções de Bessel

5.6. Sistemas Radiais com Convecção 5.6.1. Soluções Exatas  Esfera (5.48a) (5.48b) (5.48c)

5.6. Sistemas Radiais com Convecção 5.6.1. Soluções Aproximadas  Cilindro Infinito (Válida para Fo 0,2) (5.49a) (5.49b) (5.49c)

5.6. Sistemas Radiais com Convecção 5.6.1. Soluções Aproximadas  Esfera (Válida para Fo 0,2) (5.50a) (5. 50b) (5. 50c)

5.6. Sistemas Radiais com Convecção 5.6.1. Soluções Aproximadas  Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera

5.6.3. Transferência total de energia  Cilindro Infinito (5.51)  Esfera (5.52)

EXERCÍCIOS Exercício 5.37 - Incropera Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100mm de espessura (=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deve ser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a T∞=800oC mantém um coeficiente de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas as superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno?

EXERCÍCIOS Exercício – Prova de 2008.1 Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum pode ser aproximado por uma esfera com 55mm de diâmetro e propriedades iguais as da água (=999kg/m3, c=4184J/kgK, k=0,598W/mK). Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6oC, quando são colocados em água fervente, a 100oC. O coeficiente de transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400W/m2oC e os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um minuto com temperatura mínima de 75oC. Contudo, o aquecimento acima de 80oC leva a um endurecimento indesejado do produto. a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos terão endurecido demais até o final do processo; b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de cozimento; c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida demais no processo; d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.

5.7. Sólido Semi-Infinito Idealização de um sólido finito de grande espessura Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.

5.7. Sólido Semi-Infinito Governado pela Equação (5.26) (5.26) (5.27) (5.53)

5.7. Sólido Semi-Infinito Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície

5.7. Sólido Semi-Infinito Caso 1: Temperatura na superfície constante (5.57) (5.58) Função erro de Gauss tabelada no apêndice B

5.7. Sólido Semi-Infinito Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante (5.59) Caso 3: Convecção na superfície (5.60) Função erro complementar de Gauss