Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife Integração Numérica Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife

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Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]

Integral A integral da função f(x) é representada por F(x) Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada Obter F(x) não é trivial. Nem sempre se tem a forma analítica da função a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função Nestes casos, utilizamos a integração numérica

Integração Numérica A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes: Regra dos trapézios Regra de Simpson

Regra dos trapézios onde Substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados O problema fica resolvido pela integração de um polinômio Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau onde

Regra dos trapézios Integrando no intervalo [a,b] teremos O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura. , onde

Regra dos trapézios (Repetida) Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos

Regra dos trapézios (Repetida)

Regra dos trapézios (Repetida) Ex:Calcule a integral de no intervalo I = [0,1], com 10 subintervalos

Regra 1/3 de Simpson x0 = a x1 = x0 + h x2 = x0 + 2h = b Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos: x0 = a x1 = x0 + h x2 = x0 + 2h = b

Regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson

Resolvendo L0 Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos: X-x1 = x0+yh-(x0+h) = (y-1)h X-x2 = x0+yh-(x0+2h) = (y-2)h X=x0 -> y=0 e X=x2 -> y=2

...Continuando...

...Finalizando

Exemplo: Regra 1/3 de Simpson Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Exercício Estimar a integral de ex no intervalo [0,1] usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Quadratura Gaussiana Os métodos mostrados até aqui necessitam de valores de x igualmente espaçados escolhidos por quem está trabalhando no método. Na quadratura Gaussiana, a escolha segue um padrão bem definido. Este método tem como desvantagem a necessidade de se conhecer a forma analítica da função f(x). Sua principal vantagem é oferecer resultados exatos para polinômios de ordem até n-1.

Quadratura Gaussiana Este método consiste em transformar a integral definida: Em outra integral, na seguinte forma: Através de uma troca de variáveis, vista a seguir.

Quadratura Gaussiana Trocamos a variável x por: Então, a função F(t) será:

Quadratura Gaussiana Com isso, a equação geral da Quadratura Gaussiana será: Onde: n= número de pontos (escolhido) Ai = coeficientes (tabela) ti = raízes (tabela) A tabela a seguir mostra alguns valores dos coeficientes e raízes.

Quadratura Gaussiana n i ti Ai 1 2 -0,57735027 0,57735027 3 0,77459667 2 -0,57735027 0,57735027 3 0,77459667 5/9=0,555556 -0,77459667 8/9=0,888889 4 0,86113631 0,34785484 -0,86113631 0,33998104 0,65214516 -0,33998104

Tabela Quadratura Gaussiana

Quadratura Gaussiana Exemplo: Calcule a integral abaixo, utilizando n=3 pontos, com resposta com 5 casas decimais. Solução: Inicialmente, fazemos a substituição da variável x por t:

Quadratura Gaussiana Portanto, F(t) será:

Quadratura Gaussiana Para n=3, temos os seguintes valores tabelados: Assim, temos a seguinte equação Gaussiana: n i ti Ai 3 0,77459667 5/9=0,555556 1 -0,77459667 2 8/9=0,888889

Quadratura Gaussiana Assim: