Estatística e Probabilidade CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 1. Exercícios.

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Quando considera-se as observações de duas variáveis que podem estar relacionadas como causa e efeito, ou variável independente e variável independente, os procedimentos conformam as teorias da correlação e da regressão linear. Duas ou mais variáveis relacionadas podem ser analisadas por um procedimento similar, a regressão múltipla Nesta disciplina, estudaremos a correlação e a regressão linear entre duas variáveis. Esta pode ser simples, de um par de variáveis, uma condicionadora ou independente e outra dependente, ou ainda múltipla, onde há duas ou mais variáveis condicionadoras.

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Quaisquer hipóteses de correlação podem ser observadas inicialmente nos diagramas de dispersão, a representação gráfica das variáveis no eixo “x” (independente) e eixo “y” (dependente). Por exemplo, uma amostra aleatória, de dez dos 98 alunos de uma classe da Universidade A: notas obtidas Matemática e Estatística:

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Representando os pares ordenados (x,y), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porém útil da correlação existente. Quais as análises estatísticas que se pode desenvolver sobre a significância desta correlação? Por definição, correlação é a relação entre duas variáveis que expressam a relação de causa e efeito ou que variam concomitantemente. São variáveis consideradas correlacionadas. O grau de relacionamento para dados amostrais é dado pelo coeficiente de correlação linear, r .

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Posteriormente à análise da significância da correlação, procede-se na análise matemática e gráfica desta correlação, construindo-se a equação da reta entre x e y, na etapa da regressão linear. A análise da regressão linear permite a projeção de valores de y a partir dos valores reais de x. Permite portanto a previsão de resultados. Como se calcula r e como se analisa a sua significância?

2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR O grau de relacionamento para dados amostrais é dado pela seguinte expressão:

2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR Onde: n é o número de observações e r é o coeficiente de correlação linear para uma amostra. Esta equação pode ser simplificada em duas etapas como (VER LIVRO TEXTO): r = Σ (x- ) (y- ) ------------------ √ Σ (x- )2 Σ (y- )2 e finalmente,

2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR EXEMPLOS: Desenvolva o primeiro exercício do livro ; A seguir encontre o coeficiente de correlação r para os dados da tabela anterior (acima) usando a equação simplificada. (X) (Y) XY X2 Y2 5 6 30 25 36 8 9 72 64 81 7 56 49 10 100 3 4 12 16 48 2 65 473 481 475

3. Propriedades do coeficiente r . O valor de r está sempre entre –1 e 1. O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são convertidos para uma escala diferente. O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y. O r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento linear. Não serve para medir a intensidade de um relacionamento não-linear.

4. Coeficiente de determinação r2: O coeficiente de determinação r2 indica aproximadamente o percentual de variação na série atribuído à variável independente; Da mesma forma 1- r2 indica o percentual de variação atribuído a outros fatores. Todos os programas estatísticos calculam o r, r2 e a significância de r. Como avaliar-se a significância de r ?

5. Significância do coeficiente de correlação linear. A significância de r está baseada no seu afastamento de zero. Uma aplicação do teste t é geralmente utilizada para a avaliação da significância de r. Justifica-se como a observação da diferença do r calculado de zero, que indica a inexistência de qualquer correlação. A equação e os graus de liberdade (pares na série) usados são:

6. CORRELAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA. Caso as variáveis x e y cresçam no mesmo sentido, isto é, quando x cresce, y também cresce, diz-se que as duas variáveis têm correlação positiva. As notas de matemática e notas de estatística dos alunos tem correlação positiva, porque quando uma das variáveis cresce, a outra , em média, também cresce. CORRELAÇÃO NEGATIVA: caso as variáveis x e y variem em sentido contrário, isto é, quando x cresce, em média y decresce, diz-se que as duas variáveis têm correlação negativa.

7. INTENSIDADE DA CORRELAÇÃO.

8. Exemplo final. Observe os dados da tabela a seguir e discuta: Qual é o coeficiente de correlação da série? O que significa?:

8. Exemplo final