Capítulo 10: Tensões e Deformações Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Centro de Tecnologia Universidade Federal da Paraíba Capítulo 10: Tensões e Deformações Curso: Engenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Solos I Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos

2/17 Tensoes Principais

3/17 Tensões Principais São de particular interesse em Mecânica dos Solos as chamadas tensões principais. Definida como a tensão normal sobre um plano onde não há tensão de cisalhamento. Estado plano de tensão Muitos problemas que envolvem maciços terrosos permitem considerar apenas s3 e s1, reduzindo-os, assim, a problemas planos.

4/17 A figura representa um ponto O dentro de uma massa sujeita a esforcos, com OA o traço do plano principal maior e OB o do menor. Vejamos como determinar as tensões s e t sobre qualquer plano normal à figura e definido por sua inclinação a em relação ao plano principal maior.

sds ds B ds sena tds a A ds cosa O 90-a s3ds sena cosa a s3ds sena 5/17 sds ds B 90-a ds sena tds s3ds sena cosa a a A s3ds sena s3ds sen2a s1ds sena cosa a s1ds cos2a ds cosa O s1ds cosa

t ds = s1 ds sen a cos a – s3 ds sena cosa 5/17 t ds = s1 ds sen a cos a – s3 ds sena cosa s ds = s1 ds cos2a + s3 ds sen2a

As equações de equilíbrio das forças 6/17 As equações de equilíbrio das forças

Variação dos s e t para vários a 7/17 Variação dos s e t para vários a

8/17 Círculo de Mohr Num sistema (s, t) traçando 3 semicírculos, demonstra-se que o ponto representativo do estado de tensão sobre qualquer seção inclinada em relação aos planos principais, situa-se na área hachurada limitada pelos 3 semicírculos.

9/17 Figura 10-13. Ciclo de Mohr

10/17 Figuras 10-16. Quando s3 = 0

11/17 Figuras 10-17. Quando s1 = s3

12/17 Critério de Ruptura Vários são os critérios, mas trataremos apenas dos critérios de Mohr e Mohr- Coulomb. Critério de Mohr Supõe que a tensão de cisalhamento t = tr, correspondente à ruptura do material, ou seja, ao início do seu comportamento inelástico, é função unicamente de s sobre o plano de ruptura: tr = f(s)

13/17 Esta equação é graficamente representada pela curva intrínseca de ruptura AB, obtida traçando-se a envoltória dos círculos de Mohr correspondente a pares de tensões principais, s1 e s3, causadoras da ruptura.

14/17 Para que o corpo resista, é suficiente que o círculo de Mohr (C’), correspondente às tensões principais atuantes, fique no interior da curva intrínseca. Se o círculo (C’) é tangente em T, à curva (AB), há possibilidade de ruptura, por deslizamento, ao longo do plano que forma um ângulo a com o plano principal maior pois, nesse caso, a tensão de cisalhamento atingiu a resistência ao cisalhamento (t = tr)

t = tr = c + s tg j Equação de Coulomb t = resistência ao cisalhamento 15/17 Equação de Coulomb t = tr = c + s tg j t = resistência ao cisalhamento s = tensão normal ao plano de cisalhamento c = coesão do solo j = ângulo de atrito interno do solo

Critério Mohr-Coulomb 16/17 Critério Mohr-Coulomb

17/17 Critério Mohr-Coulomb 2a = 90º + j ∴ a = 45º + j/2

ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT) 17/17 ND = NC + CD NB = NC – BC Notando que BC = CD = CT, dividindo-se membro a membro tem-se: ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)

ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT) ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC) 17/17 ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT) Dividindo ambos os termos da fração do segundo membro por NC, vem: ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC) uma vez que: CT/NC = senj si = c/tgj Também: ND = si + s1 NB = si + s3 Nj = ND/NB

Nj = (1 + senj)/(1 – senj) = tg2(45 + j/2) 17/17 Equação de Ruptura de Mohr Nj = (1 + senj)/(1 – senj) = tg2(45 + j/2) s1 = s3Nj + 2c √Nf