Análise de Sensibilidade

Foram considerados que os todos os coeficientes que apareciam em um problema de programação linear eram fixos. Também consideramos constantes, até aqui, os termos independentes das restrições, o seu lado direito. Em uma situação real, todos esses coeficientes podem sofrer variações. Ao estudo de como a solução ótima varia, caso variem seus coeficientes, chamamos de Análise de sensibilidade.

1. Análise dos coeficientes da função objetivo Maximizar 3x + 2y 6 2,4 2 4 5x + 2y < 12 x + 2y < 4 x, y > 0 C

Na primeira restrição, 5 e 2 são os coeficientes de x e y. Na segunda restrição, 1 e 2 são os coeficientes de x e y . A questão a se levantar é: até que ponto podem variar os coeficientes da função objetivo sem que varie a solução ótima? Ou seja, qual é o intervalo de variação dos coeficientes da função objetivo que mantém a solução ótima?

Como já percebeu, tanto as restrições quanto a função objetivo estão representadas apenas por segmentos de reta. Nosso estudo se baseia na possibilidade de girarmos o segmento correspondente à função objetivo, fazendo com que suas extremidades se movimentem sobre os eixos x e y.

Se girarmos a reta no sentido horário, significa aumentar o coeficiente de x e reduzir o coeficiente de y. Vale ressaltar ainda que apesar da possibilidade de girarmos a reta da função objetivo, a solução ótima continua sendo representada pelo ponto C. 6 2,4 2 4 C

Conclusão: Se a reta da função objetivo girar apenas dentro da região sombreada, o ponto C será mantido como solução. Em outros termos, girar no interior das restrições significa que há um coeficiente mínimo e outro máximo, tanto para a variável x quanto para a variável y, entre os quais podem variar os coeficientes da função objetivo.

Determinação dos intervalos ótimos: 1. Intervalo ótimo para a função objetivo quando a variável está na base. 2. Intervalo ótimo para a função objetivo quando a variável não está na base. 3. Intervalo ótimo para os termos independentes.

Intervalo ótimo para os coeficientes da função objetivo, quando a variável está na base 140 120 100 80 60 40 20 Solução ótima (40; 40) (40; 40) (60; 20)

Determinação dos intervalos ótimos generalização da função objetivo: c1x + c2y Para encontramos tais intervalos devemos: identificar as retas limites da Função Objetivo; igualar os coeficientes de y em cada restrição ao coeficiente de y na função objetivo e verificar a variação de x (variação de c1). igualar os coeficientes de x em cada restrição ao coeficiente de x na função objetivo e verificar a variação de y (variação de c2);

Variação de c1 Função Objetivo: x + 3y 2 Restrição 1 Restrição 2 Conclusão ÷ 2 x + 2y < 120 ÷ 2 2x + 2y < 160 3 < c1 < 3 4 2 x + y < 60 2 • 3 x + y < 80 • 3 3x + 3y < 240 ÷ 2 3x + 3y < 180 2 ÷ 2 3x + 3y < 120 2 2 3x + 3y < 90 4 2

Variação de c2 Função Objetivo: x + 3y 2 Restrição 1 Restrição 2 Conclusão 2x + 2y < 160 ÷ 2 x + 2y < 120 1 < c2 < 2 x + y < 80

Intervalo ótimo para os coeficientes da função objetivo, quando a variável não está na base 140 120 100 80 60 40 20 Solução ótima (70; 0) 2x + (1/2)y (40; 40) (60; 20)

Para encontramos o intervalo desejado, devemos lembrar que se a variável não está na base, ela não contribui para alterar a solução dada pela função objetivo (já que seu valor é zero). Portanto, o intervalo ótimo para uma variável que não está na base é dado a partir do seu limite na região gráfica.

Solução ótima: (70; 0) 140 120 100 80 60 40 20 y = 0 => não está na base Limite de y na região: y = 60 Proveniente da restrição: x + 2y < 120 • 2 Igualando o coeficiente de x ao da função objetivo 2x + 4y < 240 Portanto: c2 < 4

Exercícios: Encontre os intervalos ótimos para os coeficientes de x e y da função objetivo em cada caso:

3. Intervalo ótimo para os termos independentes A variação nos coeficientes da função objetivo não altera a região permitida para a solução. Entretanto, ao realizarmos variações no lado direito das restrições a região permissível para a solução é alterada.