Operações com grafos União Exemplo Considere 2 grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2) onde V1 e V2 são conjuntos distintos A união G1  G2 é formada pelo grafo com conjunto de vértices V1  V2 e conjunto de arestas E1  E2 Exemplo G: V1={1,2} e E1={(1,2)} H: V2={3,4} e E2={ } G  H: V={1,2,3,4} e E={(1,2)}

Soma Considere 2 grafos G1(V1,E1) e G2(V2,E2) onde V1 e V2 são conjuntos distintos A soma G1 + G2 é formada por G1  G2 e de arestas ligando cada vértice de G1 a cada vértice de G2. Exemplo G: V1 = {1,2} e E1 = {(1,2)} H: V2 = {3,4} e E2 = { } G + H: V={1,2,3,4} e E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

Exemplo 1 2 G H 3 4 G  H G + H 1 2 3 4 1 2 3 4

União e Soma Podem ser aplicadas a qualquer número finito de grafos São operações associativas São operações comutativas

Remoção de Aresta Se e é uma aresta de um grafo G, denota-se G-e o grafo obtido de G pela remoção da aresta e Genericamente, se F é um conjunto de arestas em G, denota-se G-F ao grafo obtido pela remoção das arestas em F.

Remoção de Vértice Se v é um vértice de um grafo G denota-se por G-v o grafo obtido de G pela remoção do vértice v conjuntamente com as arestas incidentes a v. Genericamente denota-se G-S ao grafo obtido pela remoção dos vértices em S, sendo S um conjunto qualquer de vértices de G.

Contração de aresta Denota-se por G/e o grafo obtido pela contração da aresta e. Isto significa remover e de G e unir suas duas extremidades v,w de tal forma que o vértice resultante seja incidente às arestas originalmente incidentes a v e w.

Representação de grafos Embora seja conveniente a representação de grafos através de diagramas de pontos ligados por linhas, tal representação é inadequada se desejamos armazenar grandes grafos em um computador

Representação de grafos Uma maneira simples de armazenar grafos, é listando os vértices adjacentes a cada vértice do grafo u y v x w u: v,y v: u,y,w w: v,x,y x: w,y y: u,v,w,x

Matriz de adjacência Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n}, sua matriz de adjacência é a matriz n X n cujo elemento ij é o número de arestas ligando o vértice i ao vértice j

Matriz de incidência Se G é um grafo com vértices {1,2,3,...,n} e arestas {1,2,3,...,m}, sua matriz de incidência é a matriz n X m cujo elemento ij é o número de vezes em que o vértice i é incidente à aresta j.

Cadeias, caminhos, ciclos... Cadeia (= passeio) Uma cadeia (walk) é uma seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices. O conceito de cadeia vale também para grafos orientados, bastando que se ignore o sentido da orientação dos arcos. A seqüência de vértices (x6, x5, x4, x1) é um exemplo de cadeia

Cadeia elementar (= caminho = path) Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice 1 2 3 4 1 2 3 4 Cadeia de tamanho 2 1  2  4 Cadeia de tamanho 3 3  1  4  2

Cadeia simples (= trilha = trail) Uma cadeia é dita ser simples se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco). 1 2 3 4 1 2 3 4 Cadeia de tamanho 4 1  2  4  1  3 Cadeia de tamanho 5 1  2  4  1  3  2

Caminho Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6, x3) é um exemplo de caminho

Ciclo Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o vértice inicial é  o mesmo que o vértice final).

Circuito A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1) Um circuito é um caminho simples e fechado. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1) é um exemplo de circuito

Conectividade Grafo Conexo Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices deste grafo G. . G1 G2

Grafo desconexo Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia. .

Componente conexa Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G.

Vértice de corte Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) provoca uma redução na conectividade do grafo. X2 é um vértice de corte

Ponte Uma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção provoca uma redução na conectividade do grafo. (X1,X4) é uma ponte

Outros tipos de grafos Grafo cíclico (ou grafo circuito) Um grafo conectado que é regular de grau 2 é um grafo cíclico (= ciclo) Cn é um grafo cíclico com n vértices C6

Grafo caminho O grafo obtido a partir de Cn através da remoção de um aresta é o grafo caminho em n vértices, Pn C5 P5

Grafo roda O grafo obtido a partir de Cn-1 através da ligação de cada vértice a um novo vértice v é um grafo roda em n vértices, Wn Corresponde à soma de N1 com Cn-1 C5 W6

Grafos cúbicos São grafos regulares de grau 3 O primeiro deles é conhecido como Grafo de Petersen

Exemplos de ciclos Ciclo de tamanho 3 1  2  4  1 Ciclo de tamanho 3 1  2  3  1

Grafo fortemente conexo No caso de grafos orientados, um grafo é dito ser fortemente conexo (f-conexo) se todo par de vértices está ligado por pelo menos um caminho em cada sentido ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de qualquer outro vértice do grafo.

Componente fortemente conexa Um grafo G(V,A) que não é fortemente conexo é formado por pelo menos dois subgrafos fortemente conexos, disjuntos em relação aos vértices Cada um destes subgrafos é dito ser uma componente fortemente conexa de G

Grafos Eulerianos Um grafo conectado G(V,A) é dito ser euleriano se existe um ciclo que contém todas as arestas de G. cadeia simples fechada – que não passa 2 vezes pela mesma aresta e termina no mesmo vértice

Grafo semi-euleriano Um grafo conectado, não-euleriano G é semi-euleriano se existe uma cadeia simples contento todas as arestas de G

Teorema (Euler 1736) Um grafo conectado G é euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par Prova: Ida: Seja G um grafo euleriano. Logo ele contém um ciclo euleriano. Por cada ocorrência de vértice desse ciclo, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do ciclo, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.

Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo. Tentemos, a partir de vi, construir uma cadeia que não passa duas vezes pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde a cadeia vai terminar. Se essa cadeia, que chamaremos C1, contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1. No grafo resultante G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1, senão o grafo não seria conexo.

Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1, obtendo assim um novo ciclo C2. A figura abaixo mostra que dois ciclos que têm um vértice em comum podem formar um ciclo único: chegando no vértice comum em um dos dois ciclos, continuamos o percurso no outro ciclo. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um ciclo único que contém todas as arestas de G.

Algoritmo de Hierholzer Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum