Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Prof. José Francisco Moreira Pessanha professorjfmp@hotmail.com www.geocities.com/jfmpessa

Intervalos simultâneos Considere o caso especial em que X~Np(,) onde As variáveis são independentes Para cada média pode ser especificado um intervalo t com 1- de confiança, por exemplo, 95%: i=1,p n = tamanho da amostra aleatória xi = média amostral da i-ésima variável sii = variância amostral da i-ésima variável

Intervalos simultâneos Considerando cada intervalo individualmente i=1,p Considerando os intervalos simultaneamente Neste caso foi assumido que as variáveis são independentes, por isso o produto de probabilidades No caso de p=6 variáveis, para =0,05 (5%) tem-se que (1- )6 = 0,74 < 0,95, ou seja, o grau de confiança simultâneo é menor que 95%

Intervalos simultâneos A partir de uma região com (1-)x100% de confiança podem ser obtidos intervalos para as médias 1,2,...,p e suas infinitas combinações lineares aT = a11+a22+...+app. Estes intervalos são denominados por intervalos simultâneos ou intervalos T2: T2 n = tamanho da amostra aleatória p = número de variáveis a = vetor de constantes que definem uma combinação linear de médias X = vetor de médias amostrais S = matriz de covariância amostral Estes intervalos são mais largos que os intervalos t, de tal forma que quando considerados simultaneamente a probabilidade de que todos os intervalos contenham as respectivas médias seja (1-)x100%, igual ao grau da região de confiança.

Intervalos simultâneos Os intervalos simultâneos são projeções da região de confiança. Note que os intervalos simultâneos para 1 e 2 definem uma região retangular maior que a região com 95% de confiança, logo a região retangular, definida pelos dois intervalos T2, tem um grau de confiança maior que 95%. A probabilidade que os dois intervalos T2 contenham as respectivas médias é superior a 95% Isso só foi possível pois os intervalos T2 são maiores que o intervalo t Região de confiança de 95% Intervalo de confiança simultâneo de 95% para 2 Intervalo de confiança simultâneo de 95% para 1

Método de Bonferroni Freqüentemente estamos interessados em fazer inferência sobre um reduzido conjunto de médias ou de combinações lineares de médias. Não estamos interessados em todas as infinitas combinações lineares das médias. Neste caso podemos desenvolver intervalos simultâneos mais curtos (mais precisos) que os intervalos T2. Este método alternativo é conhecido como método de Bonferroni e baseia-se na desigualdade de mesmo nome.

Método de Bonferroni Considere que o objetivo seja inferir sobre m combinações lineares das médias: Seja ICi o intervalo com 1-i de confiança para a i-ésima combinação (i=1,m)

Estas desigualdade é um caso especial da desigualdade de Bonferroni Método de Bonferroni Considerando todos os intervalos simultaneamente: Estas desigualdade é um caso especial da desigualdade de Bonferroni

Estes intervalos são construídos com base no intervalo t: Método de Bonferroni Vamos desenvolver os intervalos simultâneos para o conjunto restrito de p médias i , i=1,p. Estes intervalos são construídos com base no intervalo t: i=1,p Na ausência de algum conhecimento sobre a importância de cada média, faz-se: Implica no mesmo nível de confiança para todos os intervalos p termos

Método de Bonferroni Então, os seguinte intervalos de confiança têm um grau de confiança simultâneo maior ou igual a 1-: ...

Método de Bonferroni Comparando intervalos simultâneos T2 e Bonferroni para as médias i , i=1,p Intervalo simultâneo com correção de Bonferroni para as médias i , i=1,p Intervalo simultâneo T2 para as médias i , i=1,p

Exemplo O departamento de controle de qualidade de uma fábrica de fornos de microondas realiza medições do nível de radiação emitida por estes aparelhos para verificar se os fornos fabricados atendem as especificações do projeto e as normas de segurança. Desenhe a região com 95% de confiança para o vetor média. Para atender esta finalidade, uma amostra de 42 fornos de microondas é selecionada e ensaios em laboratório são conduzidos para medir o nível de radiação emitida com a porta fechada e com a porta aberta. A seguir são apresentados as amostras coletadas. Forno com a porta fechada (y1) = arquivo T4-1.dat 0.15 0.09 0.18 0.10 0.05 0.12 0.08 0.05 0.08 0.10 0.07 0.02 0.01 0.10 0.10 0.10 0.02 0.10 0.01 0.40 0.10 0.05 0.03 0.05 0.15 0.10 0.15 0.09 0.08 0.18 0.10 0.20 0.11 0.30 0.02 0.20 0.20 0.30 0.30 0.40 0.30 0.05 Forno com a porta aberta (y2) = arquivo T4-5.dat 0.30 0.09 0.30 0.10 0.10 0.12 0.09 0.10 0.09 0.10 0.07 0.05 0.01 0.45 0.12 0.20 0.04 0.10 0.01 0.60 0.12 0.10 0.05 0.05 0.15 0.30 0.15 0.09 0.09 0.28 0.10 0.10 0.10 0.30 0.12 0.25 0.20 0.40 0.33 0.32 0.12 0.12 Construa os intervalos simultâneos T2 e com correção de Bonferroni para as médias 1 e 2 com 95% de confiança.

Exemplo y1=read.table("T4-1.dat") hist(y1[,1]) Distribuições assimétricas. Violação da hipótese de normalidade. Variáveis devem ser transformadas y2=read.table("T4-5.dat") hist(y2[,1])

Transformação das variáveis Exemplo Transformação das variáveis x1=y1^(1/4) hist(x1) Distribuições simétricas. Hipótese de normalidade satisfeita. x2=y2^(1/4) hist(x2)

Vetor de médias amostrais xbarra=apply(X,2,mean) Exemplo Matriz de dados X=cbind(x1,x2) Vetor de médias amostrais xbarra=apply(X,2,mean) xbarra V1 V1 0.5642575 0.6029812 Matriz de covariâncias amostrais S=var(X) S V1 V1 V1 0.01435023 0.01171547 V1 0.01171547 0.01454530 Caso bivariado  p =2

Exemplo Intervalos simultâneos T2 para 1 e 2

Exemplo Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2

Exemplo Intervalos simultâneos T2 para 1 e 2 Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2 Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2 menores que os intervalos T2