MATEMÁTICA

Matemática Ciência e aplicações Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze De Almeida – 1º ano Ensino Médio

1º Bimestre Neste bimestre foram trabalhados os temas: Logaritmos – definição Propriedades dos logaritmos Função logarítmica Equações exponenciais Sequências numéricas P.A. – Termo geral Soma dos n primeiros termos de uma P.A. P.G. – Termo geral Soma dos n primeiros termos da P.G. Soma da P.G. infinita Semelhança de triângulos Teorema de Tales Teorema fundamental da semelhança Critérios de semelhança Relações métricas no triângulo retângulo Aplicações notáveis do teorema de Pitágoras Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA LOGARITMO Logaritmo Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b. a → base do logaritmo b → logaritmando x → logaritmo log a b=x a x =b Condições para a existência de um logaritmo Professor, comente com seus alunos que resolver um logaritmo é resolver uma equação exponencial apresentada de maneira diferente. a > 0, a ≠ 1 e b > 0 A base é maior que zero e diferente de 1; o logaritmando é positivo. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA LOGARITMOS - CONSEQUÊNCIAS Logaritmos Sejam a, b, e c números reais com 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0. Decorrem da definição de logaritmo as seguintes propriedades: log a 1=0 log a a=1 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 =𝑏 log a b= log a c 𝑏=𝑐 Logaritmos neperianos (e) Os logaritmos de base e são denominados logaritmos neperianos, nome que deriva de Napier que desenvolveu trabalhos de forma não explícita com o número e (constante de Euler). Professor, comente com seus alunos que quando é omitida a base de um logaritmo, deve-se considerá-la como 10. Representa-se o logaritmo neperiano de x com 𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑥 ou ln x. É comum referir-se ao logaritmo neperiano de x como logaritmo natural de x (x > 0). Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Propriedades dos logaritmos Considere 0 < a ≠ 1; b > 0 e c > 0. Considere a, b e c números reais positivos, com a e b diferentes de 1. Logaritmo do produto Mudança de base log a b . c = log a b+ log a c 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑐= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎 Logaritmo do quociente log a ( 𝑏 𝑐 )= log a b− log a c Consequência da mudança de base 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎= 1 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 Logaritmo da potência log b a . log a b=1 ou log a b r =r . log a b Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA Dado um número real a ( 0 < a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a a função de f de em ℝ dada pela lei f(x) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 . Na função logarítmica, temos: Domínio da função: Df(x) = Imagem da função: Imf(x) = ℝ Gráfico da função logarítmica 0 < a < 1 a > 0 Professor, comente com seus alunos que a função logarítmica sempre passa pelo ponto (1, 0). Função crescente Função decrescente Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA Função exponencial e função logarítmica Considere as funções f e g definidas por f(x) = 2 x e g(x) = log 2 x . Quando construímos os gráficos de f e g no mesmo sistema de coordenadas, notamos que eles são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Professor, aproveite esse momento para comentar sobre funções inversas e informe seus alunos que a função logarítmica é a função inversa da função exponencial. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA  EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações exponenciais e logaritmos Há equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das propriedades de potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na definição de logaritmo. Acompanhe a resolução da equação exponencial 3x = 5: 1) Aplicamos logaritmo de mesma base nos dois membros (a base escolhida aqui será 10). Log 3 𝑥 = log 5 2) Aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência no primeiro membro. x . Log 3 = log 5 3) Isolamos x no primeiro membro. Assim: 𝑥≅ 0,699 0,477 ≅1,465 𝑥= log 5 log 3 S = {1,465} 4) Com o auxílio de uma tabela de logaritmos de base 10, encontramos os valores de log 3 e de log 5. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Sequências numéricas Uma função f cujo domínio é ℕ* = {1, 2, 3, 4, …} é chamada de sequência numérica infinita. Se o domínio de f é {1, 2, 3, 4, …, n} em que n ∈ ℕ*, temos uma sequência numérica finita. É usual representar uma sequência numérica por meio de seu conjunto imagem, colocando seus elementos entre parênteses. Para apresentar os 10 primeiros termos da sequência numérica determinados pela função f: ℕ* →ℝ onde f(n) = n² + 1, temos: (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101) Em geral, sendo a1, a2, a3, …, an,... a função f: ℕ* → ℝ tal que f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, …, f(n) = an , é representada por (a1, a2, a3, …, an, …). O índice n indica a posição do elemento na sequência; a1 é o primeiro termo da sequência e, consequentemente, an é o enésimo termo da sequência. Professor, os alunos costumam confundir n e an. Atente a eles sobre essa diferença. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES FORMAÇÃO DOS ELEMENTOS DE UMA SEQUÊNCIA Termo geral Vimos que a sequência (2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101) é a sequência dos 10 primeiros termos obtidos por meio da função f: ℕ* → ℝ, onde f(n) = n² + 1. Substituindo f(n) por an , encontramos a lei de formação ou termo geral da sequência acima. Assim, a lei de formação da sequência anterior é an = n² + 1. Observe que para encontrarmos o 3º termo, por exemplo, basta substituirmos n por 3; ou seja, a3 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10 Lei de recorrência Quando conhecemos o primeiro termo de uma sequência numérica e uma lei que permite calcular cada termo an a partir de seus anteriores, an−1, an−2, …, a1 , dizemos que essa sequência está sendo determinada por uma lei de recorrência. Nesse caso não é possível encontrar o quarto termo de uma sequência, por exemplo, sem encontrarmos o terceiro, segundo, etc. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES PROGRESSÕES ARITMÉTICAS – P.A. Progressão aritmética (P.A.) É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r, chamada de razão da P.A. (2, 5, 8, 11, 14, ...) é uma P.A. infinita com r = 3 Exemplos: (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) é uma P.A. finita com r = 0. Termo geral da P.A. an = a1 + (n − 1) ⋅ r Professor, comente com seus alunos que para se obter a razão de uma P.A. basta fazer a diferença do termo posterior pelo termo anterior. Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.A., permite-nos expressar qualquer termo da P.A. em função de a1 e r. Exemplos: a4 = a1 + 3r a12 = a1 + 11r a32 = a1 + 31r Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A. Somo dos n primeiros termos da P.A. 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 . 𝑛 2 Exemplo: Qual o valor de (−61) + (−54) + (−47) + … + 296 + 303? Solução: A sequência (−61, −54, −47, + … + 296 + 303) é uma P.A. de razão 7, da qual conhecemos seu primeiro termo, a1 = − 61, e seu último termo é an = 303. an = a1 + (n − 1) ⋅ r ⟹ 303 = − 61 + (n − 1) ⋅ 7 ⟹ n = 53. Assim, a P.A. possui 53 termos. Daí, a soma pedida é: Professor, se julgar conveniente, comente com seus alunos que essa fórmula foi obtida por Gauss. 𝑆 53 = 𝑎 1 + 𝑎 53 . 53 2 = −61+303 . 53 2 =6413 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS – P.G. Progressão geométrica (P.G.) É a sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real q, chamada de razão da P.G. (2, -2, 2, -2,, ...) é uma P.G. infinita com q = -1 Exemplos: (2, 4, 8, 16, 32) é uma P.G. finita com q = 2. Termo geral da P.G. an = a1 ⋅ qn − 1 Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.G., permite-nos conhecer qualquer termo da P.G. em função do primeiro termo a1 e da razão q. Exemplos: a6 = a1 ⋅ q5 a11 = a1 ⋅ q10 a29 = a1 ⋅ q28 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 9 - PROGRESSÕES SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G. Soma dos n primeiros termos de uma P.G. A soma dos n primeiros termos da P.G. (a1, a2, a3, …, an, …) é dada por: 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 ( 𝑞 𝑛 −1) 𝑞 −1 Soma dos termos de uma P.G. infinita Na P.G. (a1, a2, a3, …, an, …) de razão q, com − 1 < q < 1, temos: Professor, faça uma associação da P.A. com a da função afim e da P.G. com a função exponencial. lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛= 𝑎 1 1 −𝑞   Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 10 - SEMELHANÇA E TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são congruentes e os lados homólogos são proporcionais. ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 𝐴 ≡ 𝐷 𝐵 ≡ 𝐸 𝐶 ≡ 𝐹 𝑎 𝑑 = 𝑏 𝑒 = 𝑐 𝑓 e Se dois triângulos são semelhantes, a razão entre as medidas dos lados correspondentes é chamada de razão de semelhança. Professor, comente com seus alunos que dois triângulos congruentes são semelhantes de razão de semelhança igual a 1. Professor, os lados homólogos são, basicamente, os lados que são opostos ao mesmo ângulo Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 10 - SEMELHANÇA E TRIÂNGULOS RETÂNGULOS TEOREMA DE TALES Teorema de Tales Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes da outra. 𝐴𝐵 𝐴 ′ 𝐵′ = 𝐵𝐶 𝐵 ′ 𝐶′ = 𝐶𝐷 𝐶 ′ 𝐷′ = …=𝑘 k é a razão de semelhança. É importante a compreensão de que, ao usar o Teorema de Tales, é possível escolher quaisquer dois segmentos de uma transversal (e não apenas segmentos adjacentes). Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 10 - SEMELHANÇA E TRIÂNGULOS RETÂNGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA Teorema fundamental da semelhança Toda reta paralela a um lado de um triângulo, que intersecta os outros dois lados em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro. Hipótese → DE // BC (D ∈ AB e E ∈ AC ) Tese → ∆ADE~ ∆ABC Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 10 - SEMELHANÇA E TRIÂNGULOS RETÂNGULOS CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA Critérios de semelhança Dois triângulos são semelhantes se possuem: dois ângulos respectivamente congruentes. dois lados correspondentes proporcionais e o ângulos compreendido entre eles . os lados correspondentes proporcionais AA (ângulo – ângulo) LAL (lado – ângulo – lado) LLL (lado – lado – lado) c c′ = b b′ e A ≡ A′ ∆ABC ~∆ A ′ B ′ C′ 𝑎 𝑎′ = 𝑏 𝑏′ = 𝑐 𝑐′ ∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶′ A ≡ A′ e B ≡ B′ ∆ABC~A A ′ B ′ C′ Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 11 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Relações métricas no triângulo retângulo a² = b² + c² a → hipotenusa do ∆𝐴𝐵𝐶 b e c→ catetos do ∆𝐴𝐵𝐶 h → altura relativa à hipotenusa m → projeção ortogonal do cateto 𝐴𝐶 sobre a hipotenusa n → projeção ortogonal do cateto 𝐴𝐵 sobre a hipotenusa c² = a ⋅ n h² = m ⋅ n b² = a ⋅ m b ⋅ c = a ⋅ h Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 11 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO APLICAÇÕES NOTÁVEIS DO TEOREMA DE PITÁGORAS Aplicações do teorema de Pitágoras Diagonal do quadrado Altura do triângulo equilátero Professor, comente com seus alunos que conhecer essas fórmulas é de suma importância para a continuação da geometria. ℎ 2 + 𝑙 2 2 = 𝑙 2 ℎ 2 = 𝑙 2 − 𝑙 2 2 𝑑 2 = 𝑙 2 + 𝑙 2 =2 𝑙 2 ℎ= 𝑙 3 2 𝑑=𝑙 2 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre