Universidade Federal do Pará Instituo de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil Programa de Educação Tutorial Engenharia Civil – PETCIVIL Cálculo Zero Trigonometria Ministrantes: Dion Cunha 8° Semestre Eng Civil João Felipe 3° Semestre Eng Civil

τριγωνομετρία A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Aristarco de Samos (310-230 a.C.). Foi o primeiro defensor da ideia de que a Terra gira em torno do Sol (Modelo Heliocêntrico). Sobre os tamanhos e as distâncias do entre o Sol e a Lua é a sua única obra conhecida.

Qual era o problema? obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns, como a distância da Terra à Lua, o raio médio da terra, a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc

E hoje? Por que devo estudar trigonometria?

Matemática Aplicada a Engenharia I e II Física Aplicada a Engenharia I e II – Mecânica Mecância dos Sólidos - Estática dos Corpos Rígidos Mecânica dos Solos II – Critérios de Ruptura dos Solos / Mohr e Coulomb

Bora começar, bora?

DEFINIÇÃO DE ÂNGULO Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

GRADO (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.

GRAU ( º ): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau.

A unidade RADIANO Uma maneira de medir arcos de uma circunferência é compará-los com um outro arco escolhido para ser unidade de medida sobre a mesma circunferência . Esse arco é chamado unitário. Veja o exemplo:

Quantas vezes o arco unitário u “cabe” no arco AB?

Basta fazer a razão entre o comprimento do arco AB e o comprimento do arco unitário.

RADIANO ( rad): Um radiano (1 rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém.

Vejamos um exemplo para esclarecer as coisas: Um arco AB de comprimento l está contido numa circunferência de raio r = 4 cm. Calcular a medida do arco AB em radianos, quando l for igual a : 8 cm, 14 cm e 21 cm.

Assim, decorre da definição, que a medida em radianos de uma arco AB é dada por:

Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais. Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com   que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluíndo

Trigonometria no Triângulo Retângulo a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

           Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senÊ = e/a                            senÔ = o/a

Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a

Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/e

Obs: Será usada na demonstração do seno da soma de dois arcos Observe: sen Ê = cos Ô, sem Ô = cos Ê e  tg Ê = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90° Ê e Ô são ângulos completares Obs: Será usada na demonstração do seno da soma de dois arcos

Círculo, Ciclo , Circunferência Trigonométrica

Definições

Reduções

O teorema de Pitágoras “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”.

Demonstração A área do trapézio com bases a, b e altura a+b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma dos áreas dos três triângulos retângulos. James Abram Garfield , 1881

cos(a - b)=cosa.cosb + sena.senb

cos(a + b)

Arcos Complementares

sen(a + b) e sen(a – b)

Fórmulas do arco duplo

Fórmulas do arco metade

Transformação em produto

Funções Trigonométricas Inversas

Bibliografia Matemática 2° Grau Volume Único – Manoel Jairo Bezerra. Ed. Scipione Meu Professor de Matemática e outras histórias – Elon Lages Lima. SBM Estática – Mecânica para Engenharia 10ª Ed. R.C. HIBBELER. Ed. Pearson Prentice Hall Um Curso de Cálculo volume I. Hamilton Luiz Guidorizzi. LTC http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Trigonometrica.htm