Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006

1. Cálculo de Variações Objectivo: Procurar mínimos ou máximos de funcionais. Funcional: Exemplo: Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e . Luso 2006

Cálculo variacional minimiza funcionais da forma Seja de classe Cálculo variacional minimiza funcionais da forma onde e Diz-se que: minimiza a funcional se Luso 2006

1.1. Equação de Euler-Lagrange Pretende-se minimizar a funcional: Assume-se que é de classe Condição necessária para mínimo: Eq. de Euler-Lagrange Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal. Luso 2006

1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L. 1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L escreve-se: 2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é, ou equivalentemente, , a equação de E-L implica: Eq. da energia Luso 2006

1.1.2. Demonstração do 2º caso particular Seja Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia. Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e Luso 2006

1.2. Cálculo de Variações - Exemplo Comprimento de arco da curva entre e é dado pela seguinte funcional: Como , e a eq. de E-L é: As extremais para este problema chamam-se geodésicas. Luso 2006

2. Braquistócrona no plano O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli. Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade. A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações. Luso 2006

Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva Assumimos que ao longo desta curva se tem Pelo Teorema da Conservação da Energia Assumindo que y é função de x: Tempo de percurso entre e ao longo de Luso 2006

Resolução da equação diferencial Pretende-se minimizar a seguinte funcional: Como , utiliza-se a eq. da energia. Seja Eq. da energia para o problema da Braquistócrona. Resolução da equação diferencial Utilize-se a seguinte mudança de variável: Pelo teorema da função implícita: Luso 2006

satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide. A curva paramétrica satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide. Nota 2: É possível mostrar que: A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter); Essa função é de classe e Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal; A ciclóide é a única extremal. Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso. Luso 2006

2.1. Braquistócrona vs. Geodésica Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos. e Luso 2006

Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica. Como já anteriormente tínhamos visto: Tempo de percurso na curva paramétrica. Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos e Luso 2006

Tempo de percurso pela ciclóide. Substituindo, Tempo de percurso pela ciclóide. Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e Tempo de percurso pela geodésica. Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064. Luso 2006

2.2. Tautócrona Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e Considere-se a ciclóide: Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por: Tempo de percurso entre e , largado em Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e com , onde Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade. Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia, Formula para o tempo de percurso entre e , largado em Ao longo da ciclóide tem-se: Luso 2006

Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas: Para concluir que: Tempo de percurso entre e , largado em Luso 2006

3. Braquistócrona no cilindro vertical Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano. Tempo de percurso entre e ao longo da curva Luso 2006

Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução: De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical: Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução: Luso 2006

4. Braquistócrona no cilindro horizontal Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal. Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical. Tempo de percurso entre e ao longo da curva Luso 2006

Utilize-se agora a seguinte mudança de variável: , i. e. Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal: Utilize-se agora a seguinte mudança de variável: , i. e. Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para Pelo teorema da função inversa: Obtem-se que: Luso 2006

Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e. Obtem-se que: Ver texto deste slide!!!! Não está correcto!!! Luso 2006

Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica. Luso 2006

Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução: Se Luso 2006

4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ? Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona: Luso 2006

satisfaz a eq. da energia é de classe Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades: Define com função de satisfaz a eq. da energia é de classe Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita; Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal. Luso 2006

Curva paramétrica para : Luso 2006

Bibliografia Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968. Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986. Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976. Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”. Luso 2006