Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreira Estatística – Aula 08 IMES – Fafica Curso de Psicologia Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br

Mediana Dados agrupados Com intervalos de classe Exemplo: Determine a mediana da seguinte distribuição de frequência. 𝒊 Estaturas (cm) 𝒇 𝒊 𝑭 𝒊 1 150 à 154 04 2 154 à 158 09 13 3 158 à 162 11 24 4 162 à 166 08 32 5 166 à 170 05 37 6 170 à 174 03 40 𝑓 𝑖 =40 𝒊 Estaturas (cm) 𝒇 𝒊 1 150 à 154 04 2 154 à 158 09 3 158 à 162 11 4 162 à 166 08 5 166 à 170 05 6 170 à 174 03 𝑓 𝑖 =40 1) Primeiramente verificamos a metade do total de elementos; 2) O 20º elemento encontra-se na terceira classe (de 14º a 24º); 3) Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, a mediana, a partir do limite inferior, será dada por: 𝑀𝑑=158+ 20−13 11 ∙4= =158+ 7 11 ∙4= =158+ 28 11 = 𝑀𝑑≅158+2,54=160,54

Mediana Na realidade, efetuamos a seguinte operação: onde: 𝑀𝑑= 𝑙 ∗ + 𝑓 𝑖 2 − 𝐹 𝑎𝑛𝑡 ∙ ℎ ∗ 𝑓 ∗ 𝒊 Estaturas (cm) 𝒇 𝒊 𝑭 𝒊 1 150 à 154 04 2 154 à 158 09 13 3 158 à 162 11 24 4 162 à 166 08 32 5 166 à 170 05 37 6 170 à 174 03 40 𝑓 𝑖 =40 onde: 𝑙 ∗ é o limite inferior da classe mediana; 𝐹 𝑎𝑛𝑡 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 𝑓 ∗ é a frequência simples da classe mediana; ℎ ∗ é a amplitude do intervalo da classe mediana. 𝑀𝑑=158+ 20−13 11 ∙4

Mediana Outro exemplo: Determine a mediana da seguinte distribuição de frequência. Classes 𝒇 𝒊 𝑭 𝒊 10 à 20 04 20 à 30 06 10 30 à 40 08 18 40 à 50 17 35 50 à 60 45 60 à 70 05 50 𝑓 𝑖 =50 Classes 𝒇 𝒊 10 à 20 04 20 à 30 06 30 à 40 08 40 à 50 17 50 à 60 10 60 à 70 05 𝑓 𝑖 =50 𝑀𝑑=40+ 25−18 17 ∙10= =40+ 7 17 ∙10= =40+ 70 17 = 𝑀𝑑≅40+4,11=44,11

É o valor que ocorre com maior frequência numa série de dados. Moda É o valor que ocorre com maior frequência numa série de dados. Dados não-agrupados Exemplo 1: Determine a moda da série cujos elementos são 2, 5, 7, 7, 7, 8, 8 e 9. O elemento que ocorre com maior frequência é o 7, então 𝑀 𝑜 =7 e a série é chamada unimodal. Exemplo 2: Determine a moda da série cujos elementos são 10, 10, 12, 15, 17, 17, 19, 20. Esta série apresenta dois elementos com maior frequência: 10 e 17, então ou 𝑀 𝑜 =10 ou 𝑀 𝑜 =17 e a série é chamada bimodal. Exemplo 3: Determine a moda da série cujos elementos são 1, 7, 8, 10, 15 e 16. Não há elemento com maior frequência, logo esta série não possui moda e é chamada de série amodal.

Moda 2. Dados agrupados Sem intervalos de classes Numa distribuição de frequência onde os dados se encontram agrupados mas não possuem intervalos de classe, a moda é o valor que possuir a maior frequência. Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino. 𝒙 𝒊 𝒇 𝒊 02 1 06 2 10 3 12 4 04 𝑓 𝑖 =34 Na classe que possui a maior frequência (12) o valor atribuído à variável é 3. Logo esta é a moda 𝑀 𝑜 =3.

Moda 2. Dados agrupados Com intervalos de classes A classe que possui a maior frequência é denominada classe modal. Logo, o valor dominante está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda é determinarmos o ponto médio da classe modal. Este valor é denominado moda bruta. Exemplo: Na seguinte distribuição, temos: 𝒊 Estaturas (cm) 𝒇 𝒊 1 150 à 154 04 2 154 à 158 09 3 158 à 162 11 4 162 à 166 08 5 166 à 170 05 6 170 à 174 03 𝑓 𝑖 =40 𝑀 𝑜 = 𝑙 ∗ + 𝐿 ∗ 2 = = 158+162 2 = = 320 2 = =160

Moda Fórmula de Czuber Para o cálculo da moda, existem outros métodos mais elaborados como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber. 𝑀 𝑜 = 𝑙 𝑀 𝑜 + ∆ 1 ∆ 1 + ∆ 2 ∙ℎ onde: 𝑙 𝑀 𝑜 é o limite inferior da classe modal; ∆ 1 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente anterior; ∆ 2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente posterior, ℎ é a amplitude do intervalo da classe modal..

Moda Exemplo Calcule a moda da seguinte distribuição de frequência: Classes 𝒇 𝒊 10 à 20 04 20 à 30 06 30 à 40 08 40 à 50 17 50 à 60 10 60 à 70 05 𝑓 𝑖 =50 Antes de aplicarmos a fórmula podemos identificar suas variáveis: 𝑙 𝑀 𝑜 =40 ∆ 1 =17−8=9 ∆ 2 =17−10=7 ℎ=10 𝑀 𝑜 = 𝑙 𝑀 𝑜 + ∆ 1 ∆ 1 + ∆ 2 ∙ℎ= =40+ 9 9+7 ∙10= =40+ 9 16 ∙10= =40+ 90 16 = 𝑀 𝑜 ≅40+5,625=45,625