Modelos Matemáticos Usados como tipos em especificações baseadas em modelos Apresentados como teorias ou sistemas formais Uma teoria é definida em termos de: Linguagem formal Axiomas Regras de Inferência

Teorias: conceitos adicionais Teoremas são fórmulas derivadas dos axiomas usando-se regras de inferência A derivação ou prova de uma fórmula A a partir de um conjunto P de fórmulas é uma seqüência cuja última fórmula é A e cada fórmula na seqüência é: um axioma uma premissa (hipótese) - elemento de P conseqüência de uma fórmula anterior produzida por uma regra de inferência

Exemplo Linguagem: Axioma: 0 é par sentença :: nat é par nat :: 0 | 1 | 2 | ... Axioma: 0 é par Regra de Inferência: se n é par então n + 2 é par Teorema: 2 é par Derivação (prova) 1 . 0 é par [axioma] 2 . 2 é par [1, regra de inferência]

Exemplo: Cálculo Proposicional Linguagem: sentença :: P | Q | R | ... |  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença Axioma: ---

Regras de Inferência (Cálculo Proposicional) P, Q P  Q Q, P  - Intro P  Q P Q  - Elim P P  Q Q  P  - Intro R  - Elim P R, Q R, P  Q

Regras de Inferência (Cálculo Proposicional) ¬ - Intro ¬ P P Q, P ¬ Q P Q P  Q  - Intro P, P  Q Q  - Elim P  Q P  Q P  Q Q  P  - Elim ¬ ¬ P P ¬ - Elim P  Q, Q  P P  Q  - Intro

Exercício Prove o seguinte teorema: P  Q P  Q

Regras de Inferência (Cálculo de Predicados)  - Elim  - Intro P(a) x . P(x) x . P(x) Para um arbitrário a P(a)  - Intro  - Elim P(a) x . P(x) x . P(x), x . P(x)  Q Q

Exercício Prove o seguinte teorema: P(m), x . (P(x)  Q(x)) Q(m)

Teoria de Conjuntos Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes Existem dois tipos de representação: Por extenso Compreensão {e1, ..., en} {x:S | P(x) . t(x)} Exemplos {2, 3, 5, 7} {x:IN | x é primo  x<10 . x} {0, 2, 4, ...} {x:IN | true . 2 * x} {0, 2, 4, 6} {x:IN | x<4 . 2 * x}

Teoria de Conjuntos Abreviações {x:S . t(x)} = {x:S | true . t(x)} {x:S | P(x)} = {x:S | P(x) . x} Portanto, {x:IN . 2 * x} = {x:IN | true . 2 * x} {x:IN | x é primo  x<10} = {x:IN | x é primo  x<10. x}

Uma Operação Básica: Pertinência x  S x  S = (x  S) {x:S | P(x) . T(x)} = {x | x  S  P(x) . T(x)}

Axiomas Fundamentais Axioma 1. Uma expressão pertence a um conjunto se e somente se tal expressão é igual a um dos elementos deste conjunto: x  {e1, ..., en}  (x=e1  ...  x=en) Axioma 2. Extensionalidade (S=T)  (x . x  S  x  T)  (x . x  S  x  T)  (x . x  T  x  S)

Provando Alguns Fatos Elementares Lema 1. Cada elemento do conjunto {1, 2} é também um elemento do conjunto {2, 1} x . x  {1, 2}  x {2,1} Prova: 1. x  {1, 2} [Hipótese] 2. x=1  x=2 [Axioma 1] 3. x=2  x=1 [Comut. de ] 4. x  {2, 1} [Axioma 1] 5. x{1, 2}x{2, 1} [ - Intro] 6. x.x{1, 2}x{2, 1} [ - Intro]

Provando Alguns Fatos Elementares Lema 2. Cada elemento do conjunto {2,1} é também um elemento do conjunto {1,2} x . x  {2, 1}  x {1, 2} Prova. Simétrica a do Lema 1.

Provando Alguns Fatos Elementares Teorema {1, 2}={2, 1} Prova. 1. x.x{1,2}x{2,1} [Lema 1] 2. x.x{2,1}x{1,2} [Lema 2] 3. x.x{1,2}x{2,1}  [ -Intro] x.x{2,1}x{1,2} 4. {1,2} = {2,1} [Axioma 2] Exercício: Prove que {2,2}={2}

Versões do Axioma de Pertinência Axioma 3. x{y:S | P(y)}  (xS  P(x)) Axioma 4. x{y:S . t(y)}  (y:S . x=t(y)) Axioma 5. x{y:S | P(y) . t(y)}  (y:S | P(y) . x=t(y))

Exercício Prove o seguinte teorema Teorema. A substituição de um predicado (numa representação de conjuntos por compreesão) por um predicado mais fraco pode resultar num conjunto maior. (x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)})

Resolução Teorema: (x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) 1.  x. P(x)Q(x) [hipótese] 2. P(a)Q(a) [-elim] 3. a  {y:S | P(y)} [hipótese] 4. a S  P(a) [Axima 3] 5. P(a) [-elim] 6. Q(a) [ -elim] 7. a  S [-elim] 8. a  S  Q(a) [7,6 -intro] 9. a  {y:S | Q(y)} [Axima 3] 10. a  {y:S | P(y)}  a  {y:S | Q(y)} [ -intro] 11. x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) [-intro] 12. (x.P(x)Q(x)) (x.x{y:S | P(y)}x{y:S | Q(y)}) [1-11  -intro]

Conjunto Vazio: {} Axioma 6.  x . x  {} ou equivalentemente: ou ainda: x . ( x  {})

Subconjuntos:  Definição. (S  T)  (x . x  S  x  T) Teoremas: (S = T)  (S  T  T  S) (S  T)  (S  T  (S = T)) (S  T)  (S  T) S . {}  S S . S  S

Conjunto das Partes: |P Definição. (T  |P S)  (T  S) Teoremas: S . {}  |P S S . S  |P S

Produto Cartesiano:  Definição. p  (S  T)   y, z . p = (y, z)  y  S  z  T Usando a notação de compreensão, temos: (S  T) = {y : S; z : T . (y, z)}

Alguns operadores auxiliares Funções de projeção sobre pares: first (y, z) = y second (y, z) = z Cardinalidade de conjuntos finitos: # S

Referências Seção 4.1 do livro The Z Notation Capítulo 5 do livro Using Z