TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 20: 01/06/2012 Escoamento em leitos porosos Lei de Darcy Porosidade, Diâmetro equivalente Equação de Blake-Kozeny Equação de Burke-Plummer Equação de Ergun Leitos fixos e fluidizados

1. Lei de Darcy Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida. v = velocidade média do fluido no leito poroso K = constante que depende das propriedades do fluído e do leito poroso (-P) = queda de pressão através do leito L = percurso realizado no leito poroso

A equação de Darcy também pode ser escrita da seguinte maneira: B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades físicas do leito poroso μf = viscosidade do fluído.

2. Equação de Poiseuille Explica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo. Onde: ∆p é a o gradiente de pressão (N/m2) v é a velocidade do fluido no tubo (m/s) D é o diâmetro do tubo (m) L é o comprimento do tubo (m) µ é a viscosidade do fluido (Pa.s) Colocando a equação em termos da velocidade média do fluido no tubo:

Comparando as equações: Poiseuille Darcy modificada Considerando o “canal tortuoso” como um tubo, relaciona-se as duas equações e obtém-se uma expressão para “B” : k = f(, Dp, Φp, etc.) Logo, é necessário uma equação “mais robusta”.

3. Dedução de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partículas sólidas rígidas? Precisamos de uma equação para descrever como varia a velocidade do fluido com a pressão aplicada, a distância percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o diâmetro das partículas e sua esfericidade, a porosidade do leito. Primeiro para leitos fixos e depois em leitos móveis (ou fluidizados)

Considerações para as equações que serão desenvolvidas a seguir: Fluido Newtoniano As partículas se distribuem de forma homogênea, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos, uniformes e em paralelo Um leito de percurso curto (L pequeno)

3.1. Porosidade Lembrando que em um leito poroso existem espaços vazios (zonas sem partículas). A porosidade () é definida como a razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito. v0

No caso do fluxo através do leito de partículas: s = densidade da partícula sólida f = densidade do fluido Vazio Sólido Fração Volume Massa

Equação pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partículas e do fluido: (densidade aparente) v0 massa total = massa de sólidos + massa de fluido Substituindo os termos, tem-se: [1]

3.2. Volumes no leito Volume total do leito Volume total de vazios Volume total de sólidos Leito particulado Conjunto de partículas Volume = soma dos volumes unitários

3.3. Relação entre “velocidade superficial” (fora do leito) do fluido e velocidade média do fluido no leito v0 A vazão mássica do fluido fora do leito é igual a vazão dentro do leito: Balanço de massa Área de vazios [2] Quando o leito não tem partículas: Se a porosidade for 50%:

Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se: 3.4. Diâmetro equivalente v0 Como não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e de raio hidráulico, cuja definição é: Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se: A área de atrito entre o fluido e as partículas sólida corresponde a área externa das partículas sólidas.

Sabemos que: Se as é a área superficial por unidade de volume sólido: Área de atrito = volume ocupado pelas partículas sólidas x as Substituindo essas relações no “Deq” acima tem-se:

Para partículas esféricas tem-se: [3]

3.5. Leito particulado fixo v0 3.5. Leito particulado fixo A perda de pressão no leito particulado é obtida com o Balanço de Energia: [4] Substituindo fF para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se: [5]

[6] [2] [3] Substituindo [3] e [6] em [2], obtém-se: Equações [7] e [8] válidas para partículas esféricas, fluido Newtoniano em regime laminar. [7] ou [8]

Definição do regime do fluxo de fluido: Turbulento quando Re > 100 Regimes de escoamento Número de Reynolds Substituindo Deq [3] e vleito [2] em Re tem-se: [9] Definição do regime do fluxo de fluido: Laminar quando Re < 10 Turbulento quando Re > 100

3.5.1. Regime Laminar De [8] Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente é maior, como mostra a equação abaixo: Equação de Blake-Kozeny; válida para e<0,5 e Re<10

Laminar Fator de Fanning Turbulento Re

[2] [4] [3] [10] 3.5.2. Regime Turbulento Para o regime turbulento pode propor-se: Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se: [2] [4] [3] Equação de Burke-Plummer (k=0,583) [10]

Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de Burke-Plummer ), tem-se a equação geral de Ergun que descreve a queda de pressão de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo: [11] Rearranjando tem-se: [12]

3.6. Partículas não esféricas A equação de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partículas não são esféricas. Para isso, o diâmetro da partícula é multiplicado pela esfericidade (phi): [13]

4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v0 do fluido) Baixa velocidade O fluido não possui uma força de arraste suficiente para se sobrepor a força da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem: Leito fixo. Alta Velocidade Se o fluido tem alta força cinética, as forças de arraste e empuxo superam a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado. P e o aumento da velocidade superficial v0 Enquanto se estabelece a fluidização o P cresce, depois se mantém constante. Comprimento do leito quando aumenta v0 A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer.

5. Fluidização A fluidização ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa através de um leito de partículas e adquire velocidade suficiente para manter as partículas em suspensão, sem que sejam arrastadas junto com o fluido. http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&NR=1&v=3_ILu2Ye8gQ http://www.youtube.com/watch?v=e5u9oW-PSy0&feature=related

A fluidização é empregada em: Secagem Mistura Revestimento de partículas Aglomeração de pós Aquecimento e resfriamento de sólidos Congelamento Torrefação de café Pirólise A fluidização é empregada em: Vantagens da Fluidização: Alta mistura dos sólidos (homogeneização rápida) A área superficial das partículas sólidas fica completamente disponível para transferência de calor e de massa

5.1. Etapas da fluidização OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está iniciando a fluidização; BC: Com o aumento da velocidade, há uma queda leve da pressão devido à mudança repentina da porosidade do leito; CD: O log(-∆P) varia linearmente com log(v) até o ponto D. D∞: Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo fluído e perde-se a funcionalidade do sistema. Transporte pneumático Leito fluidizado vmf = velocidade mínima de fluidização Leito fixo va = velocidade de arraste

Exemplo da aplicação de fluidização em resfriamento de sólidos Saída de ar Entrada de sólidos quentes Água quente Leito fluidizado Água fria Saída de sólidos frios Entrada de ar Entrada de ar distribuidor http://www.youtube.com/watch?v=CGXr_GKhksE&feature=related

5.2. Tipos de fluidização (A) Fluidização particulada: Ocorre quando a densidade das partículas é parecida com a do fluido e o diâmetro das partículas é pequeno. Video sobre fluidização particulada: http://www.youtube.com/watch?v=waohqAsKCxU&feature=related

(B) Fluidização agregativa: Ocorre quando as densidades das partículas e do fluído são muito diferentes ou quando o diâmetro das partículas é grande. Video sobre fluidização agregativa: http://www.youtube.com/watch?v=NXJhjhQFBNk&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=8n78CDI3GoU&feature=related

5.3. Altura do leito poroso [14] Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade e da altura do leito. Essa relação é dada pela seguinte expressão: [14] S S volume de sólidos no leito fixo volume de sólidos no leito fluidizado

5.4. Velocidade mínima de fluidização O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade é definida como a velocidade mínima de fluidização (vmf). Quando atinge-se vmf , a força da pressão (Fp) e a de empuxo (Fe) se igualam a força do peso das partículas do leito (Fg). Fe Logo, Fp + Fe = Fg http://www.youtube.com/watch?v=nGovDPNvSDI&feature=related

Sabe-se que Fe L Fazendo tem-se: Fp + Fe = Fg [15]

5.4.1. vmf para regime laminar Para esse regime, a parte final da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à primeira, logo temos: Rearranjando com a equação [15] tem-se: [16]

5.4.2. vmf para regime turbulento Para esse regime, a parte inicial da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à segunda, logo temos: Rearranjando com a equação [15] tem-se: [17]

5.5. Porosidade mínima de fluidização Para determiná-la, usam-se as seguintes relações: Experimentalmente:

Exercícios de Fluidização

(a) A porosidade mínima de fluidização. Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partículas de diâmetro 60 µm ( = 0,8) e densidade 2500 kg/m3. O diâmetro do leito é 40 cm e a altura mínima de fluidização é 50 cm. O fluido ascendente é ar ( = 0,62 kg/m3), que flui em regime turbulento no leito. Calcule: (a) A porosidade mínima de fluidização. (b) A perda de carga na altura mínima de fluidização. (c) A velocidade mínima de fluidização (a) Volume de sólidos = 80kg / 2500 kg/m3 = 0,032 m3. Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m3/0,1256m2=0,2548 m Usando [14] tem-se: No início da fluidização, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partículas sólidas Também poderia ser resolvido por:

(b) De [15] tem-se: Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito poroso será de 6,3kPa (c) De [13] tem-se: Quando o fluido atingir Vmf se iniciará a fluidização do leito.

Tipo de escoamento Consistência?

(a) Exercício 2: Velocidade mínima de fluidização Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,42. Com essas informações encontre: A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30m2 e que o leito contém 300kg de sólidos. Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. Encontre a velocidade mínima de fluidização (a) Volume de sólidos = 300kg / 1000 kg/m3 = 0,3 m3 Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1m Usando [14] tem-se: No início da fluidização, o leito terá 1,72m

Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s (b) De [15] tem-se: Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito será 9,7kPa (c) De [15](condições de mínima fluidização) em [13] (Ergun) tem-se: Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidização do leito será iniciada.

Exercício 3: Velocidade mínima de fluidização e expansão do leito Partículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,43. O diâmetro do leito é de 0,60m e contém 350kg de sólidos. Com essas informações encontre: A altura mínima de fluidização. Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima. Encontre a velocidade mínima de fluidização. Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito. Itens (a), (b) e (c) são resolvidos da mesma maneira que o exercício anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s.

De [15] em [13] (Ergun) tem-se: Resolvendo tem-se:  = 0,605 Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mínima de fluidização, a porosidade do leito será de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partículas sólidas.

(a) 325,08kg Respostas: (b) 15418Pa; 0,00096 m/s (b)  = 0,536; 2,16m Exercício 4: Fluidização em um filtro de areia Para limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24ºC. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho médio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42. O diâmetro do leito é 0,40m e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75m. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia). Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização. Utilizando 4 vezes a velocidade mínima de fluidização, estime a porosidade e altura do leito expandido. (a) 325,08kg Respostas: (b) 15418Pa; 0,00096 m/s (b)  = 0,536; 2,16m