Cap.9 - Escoamento Externo 9.1 – O conceito de camada limite 9.2 – Espessuras da camada limite 9.3 – Camada limite laminar em placa plana 9.4 – Equação integral da quantidade de movimento 9.5 – Emprego da equação integral 9.6 – Gradientes de pressão no escoamento 9.7 – Arrasto 9.8 – Sustentação

9.1 – O conceito de camada limite PARTE A CAMADAS LIMITE 9.1 – O conceito de camada limite

9.2 – Espessuras da camada limite A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes. A espessura da camada-limite, d , é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1 por cento da velocidade de corrente livre. A espessura de deslocamento, d* , é a distância da qual a fronteira sólida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito para dar a mesma diferença de vazão em massa que existe na camada-limite. Para escoamento incompressível:

A espessura de quantidade de movimento, q , é definida como a espessura da camada de fluido, de velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada-limite. Para escoamento incompressível:

Simplificações utilizadas no modelo de Blasius (camada limite laminar na placa plana). Navier-Stokes bidimensional : - Gradiente de pressão são iguais a zero - Regime permanente - Forças de origem gravitacional desprezíveis

9.3 – Camada limite laminar em placa plana A solução analítica para a camada limite laminar em placa plana horizontal foi obtida por Blasius em 1908. Escoamento bidimensional, permanente e incompressível com gradiente de pressão igual a zero. Condições de contorno:

O modelo de Blasius considera que o perfil u/U é similar para toda a extensão de x ao longo da placa plana. Blasius utilizou a correlação, e estabeleceu a variável adimensional : Utilizando a definição de função corrente: Apesar da equação a ser resolvida apresentar uma única variável dependente, y, a dificuldade em obter a solução ainda permanece.

Para contornar a dificuldade foi proposto o uso da função corrente adimensional abaixo, como função a ser obtida de h, alterando a forma da equação da Q.D.M. :

Perfis de velocidade similares ao longo de x (camada limite laminar em placa plana)

Solução de Blasius para camada limite laminar em placa plana

A solução de Blasius mostra que u/U=0,99 quando h=5 : A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como: Assim, o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou coeficiente local de atrito, será:

Exemplo : (a) Determine a espessura da camada limite em uma placa plana de 1 m submersa em um escoamento laminar na atmosfera sob velocidade do vento de 1 m/s e 10 m/s. (b) Calcule a tensão de cisalhamento na parede no centro da placa nos dois casos.

9.4 – Equação integral da quantidade de movimento (Gradiente de pressão nulo)

(Balanço de forças infinitesimal na placa) Observa-se que o arrasto será nulo se o escomento for ideal (u=U). A equação anterior indica que o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e a diminuição da quantidade de movimento do fluido. Ao longo do comprimento da placa, d aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa. Esta característica não ocorre no escoamento interno porque a quantidade de movimento do escoamento interno é constante e a força de cisalhamento é equilibrada pelo gradiente de pressão negativo ao longo do conduto fechado. A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a equação anterior em relação a x: (Balanço de forças infinitesimal na placa)

Perfis de velocidade típicos utilizados na análise integral da camada limite.

9.5 – Emprego da equação integral Perfil de velocidade linear Exemplo: Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de velocidade é linear, u = Uy/d para y < d e u = U para y > d . Determine a tensão de cisalhamento utilizando a equação integral. Solução:

Utilizando a definição da espessura de quantidade de movimento: A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores:

Condições de contorno: Perfil de velocidade como função de y/d Considerando uma função geral para o perfil de velocidade adimensional u/U, tem-se: Condições de contorno:

A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como: pagina anterior

Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana de 0,5 por 0,5 [m2] com velocidade de aproximação igual a 1 m/s. Determine a força de arrasto devido ao atrito, considerando os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .

Transição de camada limite laminar para turbulenta.

Perfis típicos de velocidade para os regimes laminar, de transição e turbulento do escoamento na camada limite sobre uma placa plana.

Exemplo: Um fluido escoa sobre uma placa plana com velocidade de aproximação igual a 3,1 m/s. Determine a distância em relação ao bordo de ataque da placa em que ocorre a transição do regime laminar para o turbulento e estime a espessura da camada limite neste local. Considere os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .

Camada limite turbulenta Considere o escoamento turbulento de um fluido incompressível sobre uma placa plana. Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U = (y/d)1/7 , determinaremos as espessuras da camada limite d e q , a tensão de cisalhamento na parede tw e o coeficiente de atrito médio na parede, CDf . Este perfil é próximo daqueles obtidos experimentalmente em placas planas exceto na região muito próxima a placa. Admitiremos que a tensão de cisalhamento na parede é dada por : ao invés da expressão para fluidos newtonianos, anteriormente utilizada na modelagem da camada limite laminar sobre plana plana.

a tensão de cisalhamento na parede, dada pela conservação da quantidade de movimento, pode ser utilizada para escoamento laminar ou turbulento:

Coeficiente médio de atrito paralelamente ao escoamento. para uma placa plana posicionada paralelamente ao escoamento.

Exemplo: Determine a força de arrasto devido ao atrito em dois casos de escoamento de fluidos sobre uma placa plana de 10 por 10 [m2]: na situação (a) com velocidade de aproximação igual a 4,2 m/s (aprox. 15,1 km/h) com fluido água e na situação (b) com velocidade de aproximação igual a 42 m/s (aprox. 151 km/h) com fluido ar.

9.6 – Gradientes de pressão no escoamento

PARTE B ESCOAMENTO SOBRE CORPOS SUBMERSOS

9.7 – Arrasto FD V Coeficiente de Arrasto

Dois objetos com formas diferentes mas que apresentam o mesmo coeficiente de arrasto (cilindro e aerofólio com CD=0,12.

Exemplo: Um grão de areia, com diâmetro K=0,1 mm e densidade igual a 2,3 decanta para o fundo de um lago. Determine a velocidade do movimento do grão de areia admitindo que a água do lago está estagnada.

m/s

Exemplo: Um vento forte pode remover a bola de golfe de seu apoio (observe que é possível o pivotamento em torno do ponto 1. Determine a velocidade do vento necessária para remover a bola do apoio. Adotando inicialmente

(escoamento bidimensionais) Comportamento do coeficiente de atrito em função de Re para vários corpos (escoamento bidimensionais)

Tendência histórica da redução do coeficiente de arrasto dos automóveis

9.8 – Sustentação

relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap Ap=área

relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap Ap=área