- Escoamentos c/ Ausência de Parede - ‘Free Shear Flows’

Caracterização (I) JATO 2D - Taxa de Abertura Experimental: d/x  0.100 a 0.110 ESTEIRA 2D - Taxa de Abertura Experimental: d2/x  0.365 CORRENTES PARALELAS - Taxa de Abertura Experimental: d/x  0.115

Caracterização (II) Deve-se destacar: As grandes escalas; As pequenas escalas; Estruturas coerentes; Proporção: largura x tamanho grande escala; Taxa abertura das camadas;

Similaridade (I) A transformação de similaridade reduz: o número de variáveis independentes do problema, a ordem da EDP, e o número de condições de contorno. Nem todos os problemas permitem solução por similaridade, aqueles que permitem satisfazem as três condições acima. Problemas 2D ou axi-simétricos pode-se buscar sol. similar expressando a velocidade na direção principal do escoamento por:

U(x,y) - velocidade na direção principal Similaridade (I) (x,y) - direções paralela (principal) e ortogonal ao escoamento U(x,y) - velocidade na direção principal UR(x) - velocidade de referência, varia ao longo da direção principal d(x) - escala característica para direção transversal ao escoamento h(x,y) - variável similar F(h) - função similar a ser determinada

Similaridade (II) A transformação de similaridade é aplicada com sucesso em problemas parabólicos típicos em camada limite hidrodinâmica. EDP Parabólica U = U(x,y) Satisfaz 3 C.C. y h U C. C. (h = 0) (h ) x (y = 0) (y ) Não requer C.C. Entrada (x = xe) EDO: variável independente (h) U = U(h) produz um único perfil de velocidades similar. A velocidade em qualquer posição (x,y) é mapeada por h Satisfaz 2 C.C. ( a 3a c.c. do problema parabólica deve ser similar as 2 c.c. já satisfeitas. h1 h2 h3 h4 h5 y x

Escalas Características ( Jatos 2D) Velocidade linha de centro: depende do fluxo de momento, densidade e distância da origem Análise Dimensional Var. Vel. Linha Centro UC não depende da visc. molecular desde que: Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante: Transf. Similar

Escalas Características ( Esteiras 2D) Déficite de Vel. linha de centro: depende do arrasto do corpo, densidade e distância da origem Análise Dimensional Var. Vel. Linha Centro DUC não depende da visc. molecular desde que: Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante: Transf. Similar

Escalas Características ( Camadas de Misturas) A camada rápida induz velocidade na camada lenta por meio da difusão turbulenta da quantidade de movimento. Não há propriedade integral a ser conservada (distintamente do jato e esteira). Para os extremos, y , as vel. são constantes e iguais a de cada camada! A velocidade referência é uma constante dada pela diferença de velocidade entre camadas: DUC não depende da visc. molecular desde que: Observações experimentais mostram que a razão entre a espessura da camada limite e a distância da origem variam é constante:

Escalas Características Quadro Resumo Taxa de abertura da C.L. é definida como sendo o arco tangente da razão y/x onde y é: Jato - a distância onde a vel. U é igual a 1/2 da velocidade da linha de centro; Esteira - a distância y onde o déficite de velocidade é igual 1/2 de seu máximo; Camada Mistura - usualmente definida entre os valores de y/x onde (U-U1)2/(U0-U1)2 é 9/10 e 1/10, e U0 e U1 são as velocidades das correntes.

Modelo de Comprimento de Mistura Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl). onde a é uma constante de fechamento do modelo.

Modelo de Comprimento de Mistura Os valores da constante a foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais. O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante a, a varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta. Reconhecendo-se que nT pode ser expressa em função do comprimento de mistura: Estimando-se o gradiente de velocidade por meio da vel. de referência e da espessura da camada limite Chega-se ao modelo da visc. turbulenta. Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR d O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante c A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

Equação Similar p/ Comprimento Mistura muita álgebra ... Equação Movimento: Transformação Similar: Modelo p/ tensão: Equação Transformada: Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Modelo de Comprimento de Mistura Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl). onde a é uma constante de fechamento do modelo. Os valores da constante a foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais. O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante a, a varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!

Modelo de Viscosidade Turbulenta Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta. Reconhecendo-se que nT pode ser expressa em função do comprimento de mistura: Estimando-se o gradiente de velocidade por meio da vel. de referência e da espessura da camada limite Chega-se ao modelo da visc. turbulenta. Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR d O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante c A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.

Equação Similar p/ Comprimento Mistura muita álgebra ... Equação Movimento: Transformação Similar: Modelo p/ tensão: Equação Transformada: Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Jato Plano Livre I (comprimento mistura) A largura do jato e o comprimento de mistura são proporcionais às constantes A e a, respectivamente A velocidade na linha de centro e sua derivada são determinadas pelas expressões e A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes! A equação da quantidade de movimento transformada u

Solução Similar Jato Plano Livre II (comprimento mistura) Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 3 c.c. Y=0  V=0 e U = máx  F(0)=0, F’(0)=1 e F’’(0)=0 Y  U = 0 então F’() = 0 Necessário encontrar a melhor ajusta-se aos dados experimentais do perfil médio de velocidades. Como F(0) = F’’(0) = 0, então F’(0) = 0 para que seja satisfeita a equação da quantidade de movimento. Isto implica em dizer que a vel. na linha de centro do jato é nula! Isto sugere que o modelo de comp. mistura não pode atender a todas as c.c. especificadas. Notando-se que a Eq. Momento pode ser integrada analiticamente uma ordem reduzindo a EDO de 3a para 2a ordem:

Solução Similar Jato Plano Livre III (comprimento mistura) Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 2 c.c. h = 0  F(0) = 0 e F’(0) = 1 A EDO não apresenta solução analítica. Ela é obtida por meio de rotinas numéricas de integração (Runge-Kutta por exemplo). Comparação entre a solução de Reichardt e a do modelo de comprimento de mistura Reichardt h

Esteira 2D I (comprimento mistura) Ud O déficite de velocidade é definido como sendo a dif. entre a vel. da corrente livre e a do fluido na esteira: Para uma região suficientemente afastada da origem, a eq. do momento pode ser aproximada por: U = Uinf-Ud. O termo inercial (Uinf-Ud)dUd/dx+VdUd/dy = UinfdUd/dx -UddUd/dx+VdUd/dy, mas Eq. massa -> V  Udd/L e para distâncias grandes Ud -> 0 e os termos: UddUd/dx+VdUd/dy são da mesma ordem de magnitude porém menores que UinfdUd/dx A Eq. da quantidade de movimento deve satisfazer as C.C.:

Esteira 2D II (comprimento mistura) Equação do Momento Transformada Isolando-se o termo de derivada superior e após manipulações algébricas, onde ‘a’ é uma constante. Sujeita as C.C.: F’’(0)=0 F’(1)=0 A Eq. da quantidade de movimento apresenta a solução analítica: A constante ‘a’ e o déficite de velocidade na linha de centro são determinados com o auxílio da integral do arrasto. O parâmetro a deve ser determinado pelo melhor ajuste aos dados experimentais.

Esteira 2D III (comprimento mistura) Resultados do modelo: Tese de Doutorado do Schilichting (1930) Largura da esteira: Coeficiente de Arrasto: Perfil de Velocidades: Comparação entre as soluções similares obtidas resultantes do modelo de comprimento de mistura, (vermelha) e da viscosidade turbulenta, (linha verde). y/d

Camada de Mistura I (comprimento mistura) Perfil de velocidades, velocidade de referência e condições de contono:  U1 U2 x y

Camada de Mistura I (comprimento mistura) C1 é nula, dU/dy > 0 logo | F’’| = F’’ e a eq. transformada passa a ser: Reichardt Equação linear e têm solução analítica porém sua forma é complexa e envolve diversos termos. Mais conveniente buscar solução numérica (Runge-Kutta). Comparação da solução com o ajuste proposto por Reichardt aos dados experimentais do perfil médio de velocidades

Equação Similar p/ Viscosidade Turbulenta Equação Movimento: Transformação Similar: C1 Modelo p/ tensão: muita álgebra ... Equação Transformada: C2 Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)  h Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns escoamentos podem satisfazer. A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta) A velocidade na linha de centro e sua derivada são definidas pelas escalas características. A Equação transformada da Q. Mov. apresenta um termo isolado de derivada de terceira ordem enquanto que no modelo de comprimento de mistura ele vem multiplicado pela derivada de segunda ordem. A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!

Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta) As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são: F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0) F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro) Na linha de centro o modelo. não apresenta a inconsistência física do modelo de comprimento de mistura, isto é, F’(0)0. De fato p/, h=0, encontra-se que [F’(0)]2 = -2/A.F’’’(0) O valor do parâmetro c , espessura C.L. e a solução da EDO tem solução analítica com perfil de velocidades no Jato plano

Esteira 2D (mod. visc. turbulenta) A aproximação a equação da Q. Mov. aplica-e para escoamentos distantes do corpo, L/x > 200 (L dim. corpo) . Equação transformada da Q. Mov. passa a ser, onde o parâmetro ‘a’ é uma constante. As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são: F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) F’(0) = 1 (vel. Na linha de centro, Ud=DUC) F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0) F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro) Sendo um diferencial perfeito a EDO pode ser integrada sucessivamente até chegar-se aos valores dos parâmetros e perfis que melhor representam os dados médios experimentais

Camada de Mistura (mod. visc. turbulenta) Equação transformada da Q. Mov. passa a ser: Sujeita às condições de contorno: F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0) F’(1) = U1/DUC (vel. em y = d, U=U1) F’(-1) = U2/DUC (vel. em y = -d, U=U2) A EDO não tem solução analítica conhecida requerendo portanto integração numérica. Reichardt propôs uma aproximação à solução numérica por meio do ajuste: onde o parâmetro s que melhor se ajusta aos dados experimentais é, s = 13.5.

Estimativas Grandezas Turbulentas I Os modelos para viscosidade turbulenta: comprimento de mistura e Prandtl-Reichardt A tensão turbulenta é determinada, para ambos os modelos, com o auxílio da viscosidade turbulenta: A energia cinética do escoamento também pode ser estimada a partir da tensão turbulenta, onde a constante de proporcionalidade vêm dos dados experimentais, a  0.09. A aproximação para k não é válida próx. linha de centro pois u’v’=0 porém k0. Para y/d > 0.4 ela se constitui uma boa aproximação.

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura medido O modelo não atende o comportamento assintótico, y+ u’v’ =0, nem tão pouco da velocidade média A viscosidade turbulenta varia somente na direção transversal ao escoamento. Na direção paralela ela é constante e independe da distância da origem. Isto não representa físicamente o que ocorre para regiões muito afastadas da origem pois espera-se que o escoamento se relaminarize! O modelo dá nT=0 p/ y=0, porém é fato que nT 0. Isto gera problemas em transferência de calor e massa.

Estimativas Grandezas Turbulentas II Estimativas para um balanço dos mecanismos de produção, dissipação, transporte e destruição de k. Para regiões afastadas da origem, o termo convectivo da equação de k pode ser aproximado por: Aproximações (modelos) para cada termo da eq. transporte de k: finalmente o termo de dissipação, e, é estimado como a diferença da soma algébrica dos demais termos.

Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura Representação qualitativa do balanço de energia cinética. Linhas pontilhadas são baseadas em medidas exp. Na região central, y/d < 0.6  dk/dx = P - e - (-D) O valor de k atinge um máximo, Produção e dissipação são aproximadamente iguais e intensas ; e a difusão transporta k [-(-D)>0] para o centro e para a periferia da esteira. ‘C’ transporta paralelo ao escoamento enquanto “D” transversalmente Na região y/d > 0.6  dk/dx = - (D) os mecanismos ‘C’ e ‘D’ se invertem. A difusão remove k pq. a esteira se propaga num ambiente de fluido não perturbado. Pk D C e