Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão Aula Teórica Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão

Equações que vamos resolver Conservação da massa: Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:

Como se resolvem as equações Métodos Numéricos: Diferenças finitas/Volumes finitos Elementos Finitos/Elementos de fronteira. Como se constrói o método das diferenças finitas? Série de Taylor:

O que representa a série de Taylor? c Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc

Como usar para calcular as derivadas? Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele Subtraindo uma da outra: Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por

O que representa a série de Taylor? c Método Explícito Método Implícito Método Diferenças Centrais t1 t1+Δt Outras derivadas Δt Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

Derivadas espaciais Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Derivadas espaciais Derivada à esquerda, Método upwind se velocidade positiva. Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Subtraindo uma equação da outra Diferenças Centrais

2ª Derivada Adicionando:

Equações Algébricas Obtêm-se substituindo as derivadas pelas aproximações: Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo. Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço. O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ? Fazendo a média….. Adicionando as equações! Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver

Explícito Upwind Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão. Esta equação pode ser organizada na forma:

Forma geral da Equação K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson: Explicito, upwind: Números de Courant e de Difusão

Sobre a precisão do cálculo No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”. Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto. Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo, maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

Porque aumenta a precisão com o expoente de ? Porque os termos ignorados são da forma: O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados. Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.