Derivada Autores: Silvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva

Derivada: conceitos básicos

Taxa de Variação Taxa de variação é a comparação entre duas grandezas variáveis e dependentes. A velocidade média, por exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo. Ou seja, é o espaço percorrido em cada unidade de tempo.

A cada 1 segundo de movimento o espaço varia de 4 metros. Veja: Exemplo 1 A tabela a seguir representa o espaço percorrido, em metros (m), por um móvel a cada unidade de tempo em segundos (s). t (s) 1 2 3 4 5 6 ... s (m) 8 12 16 20 24 A cada 1 segundo de movimento o espaço varia de 4 metros. Veja:

t s(t)

t s(t)

t s(t) 1 4

t s(t) 1 4

t s(t) 1 4

t s(t) 1 4 2 8

t s(t) 1 4 2 8

t s(t) 1 4 2 8

t s(t) 1 4 2 8 3 12

t s(t) 1 4 2 8 3 12

t s(t) 1 4 2 8 3 12

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20 6 24

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20 6 24

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20 6 24

t s(t) 1 4 2 8 3 12 16 5 20 6 24

4 é o coeficiente angular da reta

Mas e quando não lidamos com uma reta? No nosso exemplo, a taxa de variação ou coeficiente angular da reta é constante. Mas e quando não lidamos com uma reta?

Imagine o movimento de um objeto solto a uma altura de 50 metros em queda livre. Com o auxílio da física, podemos descrever seu movimento através da função: t 1 2 3 3,2 s (t) 50 45,1 30,4 5,9

Como , então os pontos serão: Observe que nossa taxa de variação corresponde a inclinação da reta definida pelos pontos: Como , então os pontos serão:

Ponto em que a reta corta o eixo y A partir dos pontos podemos determinar a reta que passa por eles: Ponto em que a reta corta o eixo y Inclinação da reta.

Como , então os pontos serão: Observe que nossa taxa de variação corresponde a inclinação da reta definida pelos pontos: Como , então os pontos serão:

Ponto em que a reta corta o eixo y A partir dos pontos podemos determinar a reta que passa por eles: Ponto em que a reta corta o eixo y Inclinação da reta.

Veja que quando observamos intervalos distintos, temos taxas de variação distintas.

Se aceitarmos , qual problema teríamos? Quando aproximamos o ponto variável ao ponto fixo , diminuímos nosso intervalo , fazendo-o se aproximar de zero. Assim, podemos dizer que quando lidamos com um ponto na vizinhança do ponto 3, temos que a reta secante ao gráfico se aproxima da reta tangente ao ponto (3, S(3)). Reta secante Reta tangente

Logo, quando se aproxima de zero temos uma boa aproximação da taxa de variação do espaço em relação ao tempo no ponto 3. Essas considerações podem ser sistematizadas através da noção de Limite.

Esse valor é a velocidade instantânea em t = 3s.

Consideramos um ponto específico (3, S(3)), mas podemos generalizar nossas considerações para um ponto qualquer (t, S(t)).

Dessa forma, em t=3s temos que o valor da velocidade instantânea será:

Assim, temos uma equação que nos fornece a taxa de variação da função S de uma variável t, definida por para qualquer t real. Estamos diante da noção de DERIVADA de uma função real de uma variável.

A derivada é denotada por Notação: A derivada é denotada por ou

Definição de Derivada A derivada de uma função (f) é a função (f’) desde que o limite abaixo exista.

Observações: Podemos utilizar outras notações para representar a derivada de uma função real de uma variável como por exemplo: e ou e

Como saber se uma função é derivável (ou diferenciável)?

Uma função é derivável em um intervalo aberto Uma função é derivável em um intervalo aberto se existe para qualquer valor de nesse intervalo. ou Uma função é derivável em um intervalo fechado se a função é diferenciável em um intervalo aberto e existe os limites: e

Exemplos: Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no intervalo : e Como a derivada não depende de x então ela existe para todo ou seja, é derivável em

se

Observações: Uma função é dita derivável em um ponto x = c, se existe derivada no ponto x = c.

Seja as funções abaixo, verifique se são deriváveis no ponto x=0: Exemplos: Seja as funções abaixo, verifique se são deriváveis no ponto x=0:

Logo, f(x) é derivável em x=0.

Logo, g(x) não é derivável em x=0.

Observações: Uma função que é derivável para todos os valores x de seu domínio é denominada função derivável ou diferenciável.

é contínua mas nem toda função contínua é derivável. Observações: Toda função derivável é contínua mas nem toda função contínua é derivável.

é uma função contínua, no entanto, não é derivável no ponto

não é contínua, porém é derivável para todo valor de do seu domínio.

é contínua e derivável em todo valor de x do seu domínio.

Exemplo: O lucro de um buffet é dado em função do valor cobrado por pessoa. A função que descreve essa situação é dada pela lei de formação: Dessa forma, encontre o valor ideal a ser cobrado para que o buffet tenha lucro máximo.

O valor ideal é R$ 17,50