Planejamento de Experimentos Blocagem e Confundimento nos fatoriais 2k Capítulo 7 Blocagem é uma técnica para lidar com variáveis de ruído controláveis Dois casos são considerados Planejamentos com replicação Planejamentos sem replicação

Blocagem num planejamento com replicação Esse é o cenário discutido previamente (Capítulo 5, Seção 5.6) Se existem n replicações do plano, então cada replicação é um bloco Cada replicação é realizada em um dos blocos (períodos de tempo, lotes de matéria-prima, etc.) Realizações dentro do bloco são aleatorizadas

Blocagem num planejamento com replicação: exemplo Considere o exemplo da seção 6.2; k = 2 fatores, n = 3 replicações Esse é o metodo “usual” para calcular uma soma de quadrados devida ao bloco.

ANOVA for the Blocked Design Page 267

Confundimento nos fatoriais 2k Em muitos problemas não é possível realizar uma replicação completa de um planejamento fatorial em um bloco. CONFUNDIMENTO é uma técnica de planejamento para arrumar um experimento fatorial completo em blocos, no qual o tamanho do bloco é menor do que o número de combinações dos tratamentos em uma replicação. A técnica faz com que a informação sobre certos efeitos de tratamento (geralmente interações de maior ordem) sejam indistinguíveis ou confundidas com o bloco. Apesar desses planos serem planos em blocos incompletos a estrutura especial do sistema fatorial 2k permite um método de análise simplificado.

Confundimento nos fatoriais 2k Consideraremos a construção e análise do plano fatorial 2k em blocos incompletos 2p, com p<k. Assim, os planos podem ser realizados em dois blocos incompletos (p=1), quatro blocos incompletos (p=2), oito blocos incompletos (p=3), etc.

Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos Suponha que deseja-se realizar uma única replicação do experimento 22. Cada replicação requer 4 realizações paras as combinações possíveis dos tratamentos. Suponha que cada lote de matéria-prima é suficientemente grande para permitir que apenas duas realizações sejam testadas. Desse modo, apenas dois lotes serão necessários para uma realização completa das combinações de tratamento. Se os lotes são considerados blocos, então devemos designar duas das 4 combinações possíveis para cada lote.

Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos Uma possível configuração para esse problema é ilustrada na figura. Observe que os blocos são caracterizados pelas diagonais do quadrado. A ordem na qual as realizações são testadas em cada bloco é aleatória.

Confundimento nos fatoriais 2k em dois blocos Também decidimos aleatoriamente a ordem dos blocos. Os efeitos principais dos fatores A e B são calculados por Observe que tanto A como B não são afetados pela blocagem, pois em cada estimativa existe uma combinação de tratamentos com sinal + e uma com sinal -. Isto é, qualquer diferença entre o bloco 1 e 2 será cancelada.

Efeito fatorial I A B AB Bloco (1) + - 2 a 1 b ab Tabela de sinais “+” e “-” para o plano 22 Combinação de tratamento Efeito fatorial I A B AB Bloco (1) + - 2 a 1 b ab

Como as combinações dos dois tratamentos com o sinal “+” Considere o efeito de interação AB: Como as combinações dos dois tratamentos com o sinal “+” ( ab e (1)) estão no bloco 1 e as duas com o sinal “-” (a e b) estão no bloco 2, o efeito de bloco e o efeito de interação AB são idênticos.Isto é, AB é confundido com blocos. Essa abordagem pode ser usada para confundir qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos. Por exemplo, se (1) e b são designados ao bloco 1 e a e ab ao bloco 2, o efeito principal do fator A será confundido com o bloco. A prática usual é confundir efeitos de interação de maior ordem.

OUTROS MÉTODOS PARA A CONSTRUÇÃO DE BLOCOS Existem outros métodos para construir esse planejamento. Um método usa a combinação linear: na qual xi é o nível do i-ésimo fator que aparece numa combinação de tratamento particular e αi é o expoente que aparece sobre o i-ésimo fator no efeito a ser confundido. Para o sistema 2k, temos αi=0 ou 1 e x (nível baixo) ou 1 (nível alto). Combinações de tratamento que produzem o mesmo valor de L(mod2) (resto de L na divisão por 2) serão designadas ao mesmo bloco. Como os únicos valores possívels de L(mod 2) são 0 ou 1, ele designará as 2k combinações de tratamento a exatamente 2 blocos.

Ilustração Considere um experimento 23 com o efeito ABC confundido com os blocos. Nesse caso Combinação de trat. L L(mod 2) Bloco (1) 1 a 2 b c ab ac bc abc 3

Outro método: o bloco contendo a combinação de tratamento (1) é chamado bloco principal. As combinações de tratamento nesse bloco têm uma propriedade teórica de grupo, a saber, elas formam um grupo com respeito a multiplicação módulo 2. Isso implica que qualquer elemento (exceto o (1)) no bloco principal pode ser gerado pela multiplicação módulo 2 de dois outros elementos no bloco principal. Por exemplo, considere um experimento 23 com o efeito ABC confundido com os blocos.

Confundimento Observe que: Combinações de tratamento no outro bloco (ou blocos) podem ser geradas pela multiplicação de um elemento no novo bloco por cada elemento no bloco principal módulo 2. Para o experimento 23 com o efeito ABC confundido com os blocos:

Estimação do erro Quando o número de variáveis é pequeno, digamos k=2 ou 3, geralmente é necessário replicar o experimento para obter uma estimativa do erro. Por exemplo, suponha que um experimento fatorial 23 deve ser realizado em dois blocos com ABC confundido, e o experimentador decide replicar o experimento 4 vezes.

Estimação do erro A tabela ANOVA para esse plano é

Estimação do erro A soma de quadrados dos erros consiste das interações de dois fatores entre replicações e cada efeito (A,B,C,AB,AC,BC). Geralmente, é seguro considerar as interações como nulas e tratar o quadrado médio resultante como uma estimativa do erro. Efeitos principais e de interação a dois fatores são testados em relação ao quadrado médio do erro. Cochran e Cox (1957) observaram que o quadrado médio de bloco ou ABC poderia ser comparado ao erro para o quadrado médio de ABC, que é de fato, replicações vezes blocos.

Se os recursos disponíveis permitem replicações dos planos confundidos, é geralmente melhor usá-la de forma ligeiramente diferente. Essa abordagem consiste do confundimento de um efeito diferente em cada replicação tal que alguma informação de todos os efeitos é obtida. Tal procedimento é chamado confundimento parcial e será discutido na seção 7.7. Se k é moderadamente grande, maior ou igual a 4, podemos, em geral, realizar apenas uma replicação. O experimentador usualmente assume que interações de maior ordem são desprezíveis e combina suas somas de quadrados como erro. O gráfico de probabilidade normal dos efeitos pode ser útil para identificar os efeitos desprezíveis.

Experimento do Exemplo 6.2 Suponha que somente 8 realizações possam ser feitas a partir de um lote de matéria-prima.

A Tabela de sinais + & -, Exemplo 6.2

ABCD é confundido com blocos (Page 279)

Estimativas dos Efeitos

Tabela ANOVA A interação ABCD (ou efeito de bloco) não é considerada como parte do termo de erro

Outra Ilustração da Importância de Blocagem Agora as primeiras 8 realizações têm taxa de filtragem reduzida por 20 unidades

A interpretação é mais difícil, não tão facil para identificar os grandes efeitos Uma interação importante não é identificada (AD) Não usar blocagem quando é necessário poderá acarretar problemas na interpretação do resultado de um experimento e mascarar a presença de efeitos existentes de fatores

Confundimento em Blocos Mais de dois blocos (page 282) O fatorial 2k pode ser confundido em 2, 4, 8, … (2p, 1<p<k) blocos Para quatro blocos, selecionar dois efeitos para serem confundidos, automaticamente um terceiro efeito será confundido Veja exemplo, pg 282 A escolha dos esquemas de confundimento nem sempre é trivial. Consulte tabela 7.9, pg 285

Exemplo

Combinações de tratamentos Sinal de ADE Sinal de BCE Sinal de ABCD Bloco 1 - + Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4

Confundimento Parcial A menos que o experimentador tenha uma estimativa a priori do erro ou assuma que certas interações são desprezíveis, ele deverá replicar o experimento para obter uma estimativa do erro. Vimos um exemplo de um fatorial 23 em dois blocos com ABC confundido e 4 replicações. Da ANOVA desse experimento (tabela 7.5), observamos que a informação sobre a interação ABC não pode ser recuperada porque ABC é confundido com blocos em cada replicação.

Confundimento parcial Considere o seguinte experimento alternativo Novamente são 4 replicações de um fatorial 23, mas uma interação diferente foi confundida em cada replicação.

Confundimento Parcial Como um resultado, a informação sobre ABC pode ser obtida dos dados nas replicações II, III e IV; de AB nas replicações I, III, IV, etc. Dizemos que três quartos da informação pode ser obtida sobre as interações porque elas não foram confundidas em três das quatro replicações. Yates (1937) denominou a razão ¾ de informação relativa dos efeitos confundidos. Esse experimento é dito ser parcialmente confundido.

Exercícios do Capítulo 7 1 ao 17 Para entregar na quinta-feira dia 4/11: 5, 11 e 12.