exemplos e aplicaçãoes da TRANSFORMADA EM ONDELETAS Marcelo Schneider - meteorologista –

__________TRASNFORMADADA DE FOURIER Os analistas de séries temporais têm a sua disposição diversas ferramentas. Talvez a mais conhecida seja a análise de Fourier, que decompões um sinal em diferentes freqüências de harmônicos na forma de senos. Uma outra maneira pensar na análise de Fourier é como sendo uma técnica matemática para transformar nossa idéia do sinal que se baseia no tempo para uma relação baseada na freqüência

__________TRASNFORMADADA DE FOURIER Em muitas casos de séries temporais, a análise de Fourier é extremamente útil porque o conteúdo da freqüência do sinal é muito importante. No entanto a análise de Fourier tem um inconveniente sério. Na transformação ao domínio da freqüência, a informação do tempo é perdida. Ao olhar a transformada de Fourier de um sinal, é impossível dizer quando um evento particular ocorreu. Se as propriedades do sinal não mudarem muito com o tempo -- isto é, “sinais estacionários” -- este inconveniente não é muito importante. Entretanto, a maioria de sinais interessantes contêm características não estacionárias, com inúmeras transições: desvios, tendências, mudanças abruptas, e começos e fins dos eventos. Estas características são frequentemente a parte mais importante do sinal, e a análise de Fourier não é adequada para detectá-las.

__________TRASNFORMADADA DE FOURIER Em um esforço corrigir esta deficiência, Dennis Gabor (1946) adaptou a transformada de Fourier para analisar somente uma pequena seção do sinal em um dado momento -- uma técnica chamada “janelamento” do sinal. A adaptação de Gabor, chamada de transformada de Fourier de curto tempo, traça um sinal em uma função bidimensional do tempo e da freqüência.

__________TRASNFORMADADA DE FOURIER A STFT representa um certo compromisso entre a visão baseada no tempo e na freqüência de um sinal. Fornece alguma informação sobre ambos quando e em que freqüências um evento do sinal ocorre. Entretanto, pode-se somente obter esta informação com precisão limitada, e essa precisão é determinada pelo tamanho da janela. Quando o compromisso da STFT entre o tempo e a informação da freqüência puder ser útil, o inconveniente é que uma vez que você escolhe um tamanho particular para a janela de tempo, a janela é a mesma para todas as freqüências. Muitos sinais requerem uma aproximação mais flexível -- onde podemos variar o tamanho da janela para determinar mais exatamente o tempo ou a freqüência.

Análise de Ondeletas A análise de Wavelets, ou análise de ondeletas (“ ondinhas” ) representa uma etapa lógica seguinte: uma técnica de janelamento com regiões de tamanho variáveis. A análise de Ondeletas permite o uso dos intervalos longos do tempo onde nós queremos uma informação que possui frequencia mais baixa, e regiões de intervalo mais curto onde queremos informação com alta freqüência.

__________________Análise de Ondeletas fixo Tamanho variável Observa-se que a análise de Ondeletas não usa uma região de tempo-freqüência, mas sim uma região em tempo-escala.

__________________Análise de Ondeletas Escala x freqüência: Onde: a é uma escala. é o período de amostragem. Fc é a freqüência center de um wavelet no hertz. O Fa é a pseudo-freqüência que corresponde à escala a, em hertz.

__________________Análise de Ondeletas Uma das principais vantagens osbtidas pela Ondeleta é a habilidade de executar a análise local -- isto é, para analisar uma área localizada de um sinal mais estenso. - Considere um sinal senoidal com uma descontinuidade pequena – pouco visível. Tal sinal facilmente podia ser gerado no mundo real, talvez por uma flutuação de energia ou por um ruído.

__________________Análise de Ondeletas A plotagem dos coeficientes de Fourier deste sinal não mostra nada que interesse particularmente: um espectro liso com os dois picos que representam uma única freqüência. Entretanto, o plot dos coeficientes da Ondeleta mostra claramente a posição exata e o tempo da descontinuidade.

__________________Análise de Ondeletas análise de Ondeletas é capaz de revelar aspectos como: tendências; pontos de “quebra”; descontinuidades em derivadas mais elevados; Auto similaridades. Assim possibilita uma diferente visão dos dados em relação à técnicas tradicionais. A TO pode frequentemente comprimir ou tirar ruídos de sinais sem degradação apreciável.

__________________Análise de Ondeletas Uma wavelet tem um forma de onda com duração efetivamente limitada que tem um valor médio de zero. Compare wavelets com ondas seno, que são a base da análise de Fourier: - Senoidais não têm duração limite-- estendem de menos a mais infinito. - onde senoidais são lisas e previsíveis, wavelets tendem a ser irregulares e asimétricas.

TRANSFORMADA DE ONDELETA CONTÍNUA Matematicamente, o processo da análise de Fourier é representado pela transformada de Fourier: Que é a soma sobre todo tempo, do sinal f (t) multiplicado por um exponencial complexo (Recorde-se que um exponencial complexo pode ser decomposto em componentes senoidais reais e imaginários). Os resultados da transformada são os coeficientes de Fourier , que quando multiplicado por uma senóide de freqüência , produz os componentes senoidais constituentes do sinal original.

TRANSFORMADA DE ONDELETA CONTÍNUA Similarmente, a transformada contínua de ondeleta é definida como a soma sobre toda o tempo do sinal multiplicado por versões escalonadas e transladadas da função wavelet. Os resultados CWT são muitos coeficientes C da ondeleta, que são função da escala e posicão. Multiplicando-se cada coeficiente pela apropriadamente escalonada e transladada ondeleta obtém-se as onedeletas constituentes do sinal original:

Função Morlet