2 Probabilidade Albertazzi.Probabilidade. (2.1)

espaço amostral Conjunto de todos os valores possíveis de um experimento (todos os valores que a amostra pode assumir) exemplos: { a, e, i, o, u } pode ser finito ou infinito pode ser discreto ou contínuo Albertazzi.Probabilidade.espaço amostral (2.2)

evento Subconjunto do espaço amostral exemplos em relação ao espaço amostral { 1, 2, 3, 4, 5 }: C = { 2, 3 } D = { 1, 2, 4 } E= { 1, 5 } C e E são eventos mutuamente exclusivos união: C  D = { 1, 2, 3, 4} interseção: C  D = { 2 } complemento: D’ = { 3, 5 } Albertazzi.Probabilidade.eventos (2.3)

diagramas de Venn A S A S A’ A B A  B S A B A  B S A B S (A  B)’ = Albertazzi.Probabilidade.Diagramas de Venn (2.4)

contagem Qual número de combinações de um algarismo, uma letra do nosso alfabeto e uma letra grega dos conjuntos abaixo? 1 2 3 A B   1Aa 1Ab 1Ba 1Bb n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 N = 3 * 2 * 2 = 12 Teorema: Se os conjuntos A1, A2, ..., Ak contém respectivamente n1, n2, ..., nk elementos, logo há n1*n2* ... *nk maneiras de escolher um elemento de A1, depois outro de A2, ..., e finalmente um elemento de Ak. Albertazzi.Probabilidade.Contagem (2.5)

permutações Exemplo: número de possíveis permutações do sorteio dos ganhadores dos 3 primeiros prêmios de uma rifa onde concorreram 6 pessoas: n1 = 6 n2 = 5 n3 = 4 n = 6*5*4 = 120 Albertazzi.Probabilidade.Permutações (2.6)

permutações Em geral se “r” objetos são selecionados de um conjunto de “n” objetos distintos, cada combinação ou ordem destes objetos é denominada de permutação. O número de permutações é calculado por: No caso particular em que “n” = “r”: Albertazzi.Probabilidade.Permutações (2.7)

combinações Número de maneiras diferentes em que “r” elementos podem ser selecionados de um conjunto de “n” elementos sem levar em conta a ordem Exemplo: número de diferentes vitaminas de frutas que podem ser feitas combinado duas frutas de um conjunto de 8 diferentes variedades: Albertazzi.Probabilidade.Combinações (2.8)

probabilidade Conceito clássico: “Se existem “n” possibilidades com as mesmas chances das quais uma deve ocorrer e “s” destas são classificadas como favoráveis (ou sucesso), então a probabilidade de sucesso é dada por s/n” Exemplo: A probabilidade de obter um número par ao se jogar um dado honesto: Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} n = 6 Eventos favoráveis: {2, 4, 6} s = 3 Probabilidade = s/n = 3/6 = 0,5 = 50% Albertazzi.Probabilidade.Conceito (2.9)

probabilidade Interpretação baseada na freqüência: “A probabilidade de um evento ocorrer é a proporção de vezes que este evento ocorreria em uma grande quantidade de experimentos repetidos” Albertazzi.Probabilidade.Conceito (2.10)

axiomas da probabilidade Dado um espaço amostral finito S e seja A um evento de S ax 1: 0  P(A)  1 ax 2: P(S) = 1 ax 3: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos de S, então: P(A  B) = P(A) + P(B) A B S Albertazzi.Probabilidade.Axiomas (2.11)

teoremas elementares Se A1, A2, ..., An são eventos mutuamente exclusivos do espaço amostral S, então P(A1  A2  ...  An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) Se A é um evento de um espaço amostral finito S, então P(A) é dada pela soma das probabilidades de cada elemento individual de A Se A é um evento de S, então: P(A’) = 1 - P(A) Regra geral da adição: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) A B S Albertazzi.Probabilidade.Teoremas elementares (2.12)