Projeto de Sistemas de Controle - Método do Lugar das Raízes. 7. 1 Projeto de Sistemas de Controle - Método do Lugar das Raízes 7.1. Introdução 7.2. Considerações Preliminares do Projeto 7.3. Compensação por Avanço de Fase 7.4. Compensação por Atraso de Fase Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Introdução Especificações de desempenho Pelo método tentativa e erro, estabelece-se um modelo matemático para o sistema de controle e ajusta-se os parâmetros do compensador. Etapa que mais consome tempo: Verificação do desempenho. Análise através do MATLAB a cada vez que os parâmetros são ajustados. Protótipo Teste do sistema em malha aberta Se a estabilidade absoluta do sistema em malha fechada estiver assegura, fecha-se a malha e realiza-se novo teste O desempenho real geralmente diverge do projetado teoricamente devido à não-linearidades, efeito de carga entre componentes, parâmetros distribuídos, etc. Alterações no protótipos e novos testes. Especificações de desempenho Projeto pelo método do lugar das raízes Compensação de Sistemas Compensação em Série e Paralelo Compensadores Procedimentos de Projeto Os sistemas de controle são projetados para realizar tarefas que atendam restrições. Estas restrições são dadas pelas especificações de desempenho. Exemplos: Máximo sobre-sinal Tempo de acomodação da resposta ao degrau Erro estacionário numa entrada em rampa Precisão Estabilidade relativa Velocidade de resposta Dispositivo físico com função de transferência projetada para atender determinadas configurações de desempenho. Podem ser dispositivos eletrônicos (AmpOp); redes RC – elétricas, mecânicas, pneumáticas, hidráulicas ou combinação destas; amplificadores. A escolha da tecnologia depende do tipo da planta (ex. existência de risco de explosão). Redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na função de transferência de malha aberta, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano s. São dispositivos inseridos no sistema com a finalidade de satisfazer determinadas especificações. Exemplos: Compensador de avanço de fase Compensador de atraso de fase Compensador de atraso e avanço de fase Controladores PID

Considerações Preliminares do Projeto Modificação da dinâmica da planta apesar de ser simples, as vezes não é possível em situações práticas (a planta pode ser fixa e não permitir modificações. Nesta apresentação, serão abordadas modificações pela inserção de um compensador. A compensação fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas características tendem a compensar os efeitos indesejáveis e inalteráveis da planta. Compensadores série por avanço; por atraso; por atraso e avanço(seções 7.3 a 7.5). Problema: Escolha criteriosa dos pólos e zeros do compensador Gc Técnica de compensação paralelo (seção 7.6.)

Método do Lugar das Raízes (LR) O gráfico do LR pode indicar não ser possível alcançar o desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho. Para alcançar as especificações de desempenho pode ser necessário redesenhar o LR a partir da inserção de um compensador apropriado. Após o estudo do efeito da adição de pólos e/ou zeros no LR, pode-se determinar a localização dos pólos e/ou zeros do compensador que vão remodelar o LR conforme desejado.

Efeitos da Adição de Pólos A adição de um pólo à função de transferência de malha aberta, tem o efeito de deslocar o LR para direita. Diminuição da estabilidade relativa Acomodação da resposta fica mais lenta

Efeitos da Adição de Zeros Desloca o LR para a esquerda Sistema fica mais estável Acomodação da resposta mais rápida

Seção 3.8 Sistemas Elétricos e Eletrônicos Revisão Capítulo 3 Seção 3.8 Sistemas Elétricos e Eletrônicos

Sistemas Elétricos e Eletrônicos Leis de Kirchhoff das correntes e tensões Um modelo matemático de um circuito elétrico pode ser obtido pela aplicação de uma ou ambas as Leis de Kirchhoff

Circuito RLC Aplicando Laplace (condições iniciais nulas): Função de Transferência

Representação no Espaço de Estados

Função de Transferência de Elementos em Cascata(1)

Função de Transferência de Elementos em Cascata(2)

Função de Transferência de Elementos em Cascata(3)

Impedâncias Complexas (1) Para obter as funções de transferência de circuitos elétricos, é possível escrever diretamente a transformada de laplace das equações, sem a necessidade de escrever as equações diferenciais.

Impedâncias Complexas (2)

Impedâncias Complexas – Exemplo (1)

Exemplo 3.10. (1)

Exemplo 3.10. (2)

Exemplo 3.10. (3)

Funções de Transferência de Elementos sem Carga em Cascata

Exemplo (1)

Exemplo (2)

Controladores Eletrônicos

Amplificadores Operacionais (1)

Amplificadores Operacionais (2)

Amplificadores Operacionais (3)

Amplificador Inversor (1)

Amplificador Inversor (2)

Amplificador Não-Inversor

Exemplo 3.11. (1)

Exemplo 3.11. (2)

Uso da Impedância para Obtenção das Funções de Transferência (1)

Uso da Impedância para Obtenção das Funções de Transferência (2)

Exemplo 3.12. (1)

Exemplo 3.12. (2)

Redes de Avanço ou Atraso Com Amplificadores Operacionais

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (1)

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (2)

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (3)

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (1)

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (2)

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (3)

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (4)

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (5)

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (1)

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (2)

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (3)

FIM DA REVISÃO

Compensação por Avanço de Fase (1)

Compensação por Avanço de Fase (2)

Compensação por Avanço de Fase (3)

Técnicas de Compensação (1)

Técnicas de Compensação (2)

Exemplo 7.1. (1)

Exemplo 7.1. (2)

Exemplo 7.1. (3)

Exemplo 7.1. (4) Dado que a FT de malha aberta do sistema original é G(s), a FT de malha aberta do sistema compensado será: Existem muitos valores para T e a que resultarão na contribuição angular desejada aos pólos de malha fechada.

Exemplo 7.1. (5) – Procedimento para obter o maior possível valor de a Trace uma reta horizontal passando por P. Reta PA Trace uma reta conectando o ponto P a origem. Trace a bissetriz PB do ângulo entre as retas PA e PO Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos f/2 com a reta PB As interseções de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as localizações necessárias para o pólo e o zero da rede de avanço de fase. O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo

Exemplo 7.1. (6)

Exemplo 7.1. (7)

Exemplo 7.1. (8)

Exemplo 7.1. (9)

Exemplo 7.1. (10)

Compensação por Atraso de Fase (1)

Compensação por Atraso de Fase (2) Foi utilizado b no lugar de a

Compensação por Atraso de Fase (3) Esta técnica é utilizada quando o sistema apresenta característica de: Resposta transitória satisfatórias Regime permanente insatisfatórias A compensação consiste em aumentar o ganho de malha aberta, sem alterar as relevantemente a resposta transitória

Compensação por Atraso de Fase (4) O LR nas proximidades do pólos dominantes de malha fechada não deve ser modificado significativamente, mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado o quanto necessário

Compensação por Atraso de Fase (5) Para evitar uma modificação considerável no LR, a contribuição angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (geralmente, em torno de 5%). Pólo e zero da rede de atraso próximos um do outro e próximos a origem do plano s. Com isto, os pólos de malha fechada do sistema compensado serão apenas um pouco deslocados das posições originais. As características transitórias serão apenas um pouco alteradas.

Compensação por Atraso de Fase (6) Se o pólo e zero do compensador estiverem muito próximos e considerando que um dos pólos dominantes seja s = s1, os módulos de ________________ serão quase iguais:

Compensação por Atraso de Fase (7)

Compensação por Atraso de Fase (8)

Procedimento de Projeto (1) Desenhe o LR do sistema não compensado e localize os pólos dominantes de malha fechada sobre o LR. Suponha que a FT do compensador de atraso de fase seja:

Procedimento de Projeto (2) Calcule a particular constante de erro estático especificada no problema. Determine o acréscimo no coeficiente de erro estático necessário. Determine o pólo e zero do compensador que produzam o aumento necessário no valor de erro estático, sem modificar o LR. Desenhe o novo LR e posicione os pólos dominantes de malha fechada. Ajuste o ganho Kc do compensador.

Exemplo 7.2. (1)

Exemplo 7.2. (2) - LR

Exemplo 7.2. (3) – Pólos Dominantes Malha Fechada

Exemplo 7.2. (4) - Objetivos

Exemplo 7.2. (5)

Exemplo 7.2. (6)

Exemplo 7.2. (7)

Exemplo 7.2. (8)

Matlab 7.2.

Exemplo 7.2. (9)

Exemplo 7.2. (10)

Exemplo 7.2. (11)

Matlab

Exemplo 7.2. (12)

Matlab

Exemplo 7.2. (13)

Compensação por Avanço e Atraso (1) Compensação por Avanço de Fase: Aumenta a velocidade de resposta bem como a estabilidade do sistema Compensação por Atraso de Fase Melhora a precisão do sistema em regime permanente mas diminui a velocidade de resposta

Compensação por Avanço e Atraso (2)

Compensação por Avanço e Atraso (4)

Compensação por Avanço e Atraso (5) g T2 b

Compensação por Avanço e Atraso (6)

Compensação por Avanço e Atraso (7) Consideram-se dois casos:

Compensação por Avanço e Atraso (8) É a combinação de um projeto de avanço e um projeto de atraso (procedimentos vistos anteriormente) Com base nas especificações de desempenho, determine a localização desejada dos pólos dominantes Determine a deficiência angular f Determine T1 e g partir de f. Em seguida, determine Kc para atender a condição de módulo. Suponha que num passo posterior, será escolhido um T2 de forma que o módulo para parte de atraso de fase seja igual a unidade.

Compensação por Avanço e Atraso (9) Se a constante de erro Kv tiver sido especificada, determine o valor de b que a satisfaça. Com o valor de b assim calculado, determine o valor de T2 de tal forma que a variação angular seja pequena e o módulo da etapa de avanço seja 1. Já foram especificados no passo 3.

Compensação por Avanço e Atraso (10) Com base nas especificações de desempenho, determine a localização desejada dos pólos dominantes Equação é modificada para:

Compensação por Avanço e Atraso (11) Determine a contribuição angular f para a porção de avanço de fase do controlador. Determine o valor de T2 de modo que a porção de atraso de fase do controlador tenha módulo 1 e determine os valores de T1 e b de acordo com as equações abaixo Com o valor de b determinado, calcule o valor de T2 para que a porção de atraso do controlador tenha módulo 1 e sua influencia angular seja pequena. O Valor de bT2 não deve ser muito grande para que seja fisicamente realizável.

Exemplo 7.3. (1)

Exemplo 7.3. (2) Objetivos:

Parte de avanço do compensador de fase deve contribuir com 55o Exemplo 7.3. (3) Parte de avanço do compensador de fase deve contribuir com 55o f Existem diversas possibilidades de escolha para o pólo e zero da porção de avanço do compensador. Neste exemplo será escolhido o ponto -0,5 para posicionar-se o zero (pois desta forma, ele coincide com um pólo do sistema original). Por um cálculo através de análise gráfica, verifica-se que o pólo deve situar-se em 5,021.

Exemplo 7.3. (4) Cálculo de Kc com base na condição de módulo: Determina-se o valor de b para satisfazer a constante de erro estático de velocidade:

Exemplo 7.3. (5) Escolhe-se valor de T2 de tal modo que:

Exemplo 7.3. (6)

Exemplo 7.3. (7)

Exemplo 7.3. (8) – Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado

Exemplo 7.3. (9) – LG Próximo a Origem

Exemplo 7.3. (10) – Resposta ao Degrau

Exemplo 7.3. (11) – Resposta à Rampa

Exemplo 7.4. (1)

Exemplo 7.4. (2)

Exemplo 7.4. (3)

Exemplo 7.4. (4)

Exemplo 7.4. (5)

Exemplo 7.4. (6)

Exemplo 7.4. (7)

Exemplo 7.4. (8)