Elementos de Análise de Decisões Aplicada a um Problema do Setor Agrícola Lauro T. G. Fortes Coordenador-Geral de Desenvolvimento e Pesquisa INMET, março de 2008

Fazendo uso da metodologia de Análise de Decisões Questão Central: Como posso utilizar a informação probabilística em meu processo de tomada de decisões? Resposta: Fazendo uso da metodologia de Análise de Decisões

O que é Análise de Decisões ? Disciplina consolidada a partir da segunda metade dos anos 60, pode ser definida como “Teoria da Decisão Aplicada”. Reúne um conjunto de conceitos e técnicas quantitativas que facilitam o tratamento lógico de situações envolvendo incerteza, permitindo que se tomem boas decisões. É particularmente útil para o tratamento de problemas complexos e únicos (que não se repetem), mas seus princípios aplicam-se também a situações corriqueiras.

Alguns Conceitos e Pressupostos Básicos Bons Resultados são resultados desejáveis Boas Decisões são decisões logicamente consistentes com as informações disponíveis e as preferências do Decisor Uma decisão se traduz em uma alocação efetiva de recursos, que não pode ser revertida sem incorrer em um custo significativo O Decisor é a pessoa (na organização) com a competência e responsabilidade pela efetiva alocação de recursos. Assumimos que é um ser racional capaz de explicitar de forma lógica suas preferências em relação aos possíveis resultados de suas decisões. O objetivo da Análise de Decisões é aumentar as chances de Bons Resultados por meio da tomada de Boas Decisões

Síntese (simplificada) da Teoria da Decisão Variáveis de Decisão ... D1 D2 Dn Modelo S1 S2 R ... Resultado Sm Variáveis de Estado A decisão ótima será dada pela n-upla que maximiza o valor Esperado de U(R) maxD { E[U(R)] = U(ri). P(ri) } onde U é a função utilidade, que reflete as Preferências do Decisor frente ao Risco ( Von Neumann & Morgenstern, 1943)

Escolhendo entre Loterias -6.000 1.500 3.000 10.000 0,6 0,3 0,08 0,02 R 0,1 -6.000 1.500 3.000 10.000 0,3 0,3 1.100 880 0,25 0,05 E( R ) = 0,1x(-6.000) + 0,3x0 + 0,3x1.500 +0,25x3.000 + 0,05x10.000 = 1.100 E( R ) = 0x(-6.000) + 0,6x0 + 0,3x1.500 +0,08x3.000 + 0,02x10.000 = 890

Função Utilidade Exponencial Aversão ao Risco 10.000 -5.000 0,5 2.500 ~ -500 Lauro E.C. < Valor Esperado  Aversão ao Risco E.C. = Valor Esperado  Indiferença ao Risco E.C. > Valor Esperado  Atração pelo Risco Piquet 2.000 Função Utilidade Exponencial Quando os resultados são números reais (por exemplo, Lucro), uma função utilidade muito usada na prática é a exponencial, definida por: U(x) = c [1- Exp (- x)] onde  é denominado coeficiente de aversão ao risco A Exponential e a Linear satisfazem a Propriedade Delta: Adicionando-se um valor constante a todos os Resultados, a Decisão ótima não se altera

Função Utilidade Exponencial Padronizada

Escolhendo entre Loterias (cont.) Considere que U é a função utilidade exponencial normalizada com coeficiente de aversão ao risco normalizado r = 2 R U( R ) R U( R ) 0,1 0,6 0,3 0,08 0,02 880 -6000 1500 3000 10.000 -2,68 0,00 0,30 0,52 1,00 -6000 1500 3000 10.000 -2,68 0,00 0,30 0,52 1,00 0,3 0,3 1.100 0,25 700 0,05 E[U( R)] =0,0 E[U( R)] =0,15

Exemplo do Amendoim Emerson tem uma propriedade de 800 acres em Jackson, na Flórida, onde vem plantando amendoim sem irrigação. Este ano em função da presença da La Niña e tendo uma oferta para arrendar sua propriedade, considera três possibilidades: Plantar sem irrigação Plantar com irrigação Arrendar a propriedade Para ajudá-lo nessa decisão, recorre ao Professor Maurício que, antes de mais nada, visita o site do AgClimate, seu velho conhecido, e levanta um conjunto de informações. (http://www.agclimate.org/Development/apps/agClimate/controller/perl/agClimate.pl?function=phpyieldTool&location=local&type=php&primary=1&major=2&sub=6&suppressMenu=true)

Árvore de Decisões

O Oráculo (ou o Valor Esperado da Informação Perfeita) Irriga “N” 144.081 0,3 0,4 Aluga “E.N” 99.209 80.000 Aluga “L.N” 80.000 “N” “O Oráculo diz que será Ano Neutro” Por exemplo, se “E.N” então será El Niño com certeza, isto é, Pr ( E.N | “E.N.”) = 1. Portanto se “E.N.” então a melhor decisão é Alugar Questão : Pr(“E.N.”) =? Resposta : Pr(“ E.N.”) = Pr(E.N.)= 0,3 Valor Esperado COM Informação do Oráculo = 99.209 Valor Esperado SEM Informação do Oráculo = 85.074 Valor Esperado da Informação do Oráculo =14.135

Valor Esperado da Informação Perfeita

Valor Esperado da Informação Imperfeita Expedito pode prever a fase do ENSO com 80% de acerto, e seus erros são igualmente distribuídos entre as demais alternativas. Ele está disposto a vender essa informação para o Emerson. Qual é o preço máximo que Emerson estaria disposto a pagar? Caracterização do Previsor: Pr(“N” | N)= 0,8 ; Pr(“E.N” | N) = 0,1; Pr(“L.N” | N) = 0,1 Pr(“N” | E.N)= 0,1; Pr(“E.N” | E.N) = 0,8; Pr(“L.N” | E.N) = 0,1 Pr(“N” | L.N)= 0,1; Pr(“E.N” | L.N) = 0,1; Pr(“L.N” | E.N) = 0,8

Valor da Informação Imperfeita: Estrutura do Problema

Árvore de Probabilidades: Teorema de Bayes Árvore Invertida

Anexos

A Função Utilidade – Breve Introdução John von Neumann and Oskar Morgenstern em Theory of Games and Economic Behavior (1944). Teoria da Escolha Racional sob Incerteza Se as preferências (atitudes) do Decisor em situações de risco forem consistentes com um conjunto básico de axiomas, então existirá uma função Utilidade definida sobre os Resultados das decisões tal que, em uma situação complexa, a melhor decisão para ele é aquela que maximiza a sua Utilidade Esperada. Conceitos Primários: Ex: B p 1- p L: A Loteria: Um conjunto de resultados incertos e suas respectivas probabilidades. L1L2 significa “L1 preferível a L2” L1~ L2 significa “L1 e L2 são indiferentes” Um Resultado A é equivalente a uma Loteria L que tem Prêmio A com probab. 1 A 1 A ~

Axiomas da Teoria de Utilidade Ordenação: O Decisor é sempre capaz de ordenar os resultados em ordem de preferência Comparabilidade: Para quaisquer resultados A e B, ou AB ou BA ou A~B Transitividade: Se A~B e B~C então A~C Continuidade Se AB e BC então existe uma probabilidade p tal que B ~ L: [(p, A) , (1- p, C)]. Nesse caso B é chamado de equivalente certo de L. Substituição: Se L é uma loteria e CE é o seu equivalente certo então o Decisor sempre aceitará trocar o CE por L e vice-versa. Monotonicidade: Se AB e p>q então Lp  Lq onde Lt : [ (t, A) , (1- t, B)] Decomposição (“no fun in gambling” axiom ) Uma Loteria Composta é equivalente a uma Loteria Simples com iguais probabilidades em relação aos Prêmios, isto é [(p, [(q, A), (1- q, B)]) , (1- p, B)]~ [(pq, A) , (1- pq, B)]

Propriedades da Função Utilidade O resultado não se altera se U for submetida a uma transformação linear positiva, isto é U  a + bU onde b>0 A utilidade de qualquer loteria é igual à utilidade esperada de seus resultados ou seja U(L)=  U(x)f(x)dx Corolário: O Equivalente Certo de uma loteria L é igual ao inverso da Utilidade de L: EC(L) = U-1 (L) A loteria preferida é sempre aquela que tem a maior utilidade

Teorema de Bayes Notação: Considere um conjunto exaustivo de eventos de eventos mutuamente exclusivos (Doenças) mutuamente exclusivos conjunto exaustivo onde é o conjunto de todas as possibilidades (Identidade): e um outro evento (Sintoma) Conhecemos todas as probabilidades Conhecemos também, portanto, Questão: Qual a probabilidade de determinada “Doença”, dado o “Sintoma”? Resposta:

Exemplos de Variáveis de Decisão e de Estado Lançar ou não um novo produto Realizar testes Data de início do plantio Quantidade de irrigação utilizada Número de especialistas contratados Orçamento para P&D Gastos com Propaganda Demanda de um novo produto Preço dos produtos concorrentes Taxa de Juros Início da estação de chuvas Quantidade de precipitação no período Custo de Desenvolvimento Gastos em P&D Produtividade

Bibliografia Sugerida Readings in Decision Analysis, Decision Analysis Group, Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, SRI International, Menlo Park, California, 1977. READINGS on The Principles and Applications of Decision Analysis, (Volumes I and II), Eds. Ronald A. Howard and James E. Matheson, Strategic Decisions Group, Menlo Park, California, 1984. Howard Raiffa. Decision analysis: introductory lectures on choices under uncertainty. Addison-Wesley, 1968. http://groups.msn.com/DecisionModeling/decisionanalysis1.msnw http://www.engprod.ufjf.br/fernando/epd042/analise_decisao.pdf Em http://www.northworks.net/w_pub.htm: The Decision to Seed Hurricanes (with R.A. Howard and J.E. Matheson), Science, Vol. 176, p. 1191-1202, 1972. 782k Limitations, definitions, principles, and methods of risk assessment Scientific and Technical Review, International Office of Epizootics, 1995. 468k The Invariance Approach to the Probabilistic Encoding of Information Ph. D. Thesis, Department of Operations Research, Stanford University, 1970. 5.9mb