Probabilidades - 9º ano

Como dividir as 60 pistolas? Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão: “ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”. Como dividir as 60 pistolas?

Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades. Fermat Pascal

A importância das probabilidades na sociedade METEREOLOGIA É pouco provável que chova durante esta semana. SEGUROS Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro? JOGOS Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

Termos e conceitos Determinista Aleatória Experiência Lançamento de uma moeda Lançamento de um dado Totoloto Estado do tempo para a semana Extracção de uma carta Tempo que uma lâmpada irá durar Furar um balão cheio Deixar cair um prego num copo de água Calcular a área de quadrado de lado 9 cm À partida já conhecemos o resultado À partida o resultado é desconhecido

Termos e conceitos Espaço de Resultados ou Espaço Amostral Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota } EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

Termos e conceitos Acontecimentos Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento A: “Sair um nº par” A = { 2, 4, 6 } Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2” B = { 3, 4, 5, 6 }

Termos e conceitos Acontecimento EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento ELEMENTAR COMPOSTO A: “ Sair o nº 3 ” B: “ Sair o nº ímpar ” A={ 3 } B={ 1, 3, 5 } Só tem um elemento Tem mais do que um elemento

Termos e conceitos Acontecimento EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa Espaço Amostral = S = { R, T, D, P } Acontecimento IMPOSSÍVEL POSSÍVEL CERTO “ Sair a letra X ” “ Sair a letra T ” “ Sair uma consoante ”

Definição clássica de probabilidade Modos de definir probabilidade de um acontecimento Definição clássica de probabilidade Lei de LAPLACE 1749 - 1827

Lei de LAPLACE EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso S = { F, V } Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda? Nº casos favoráveis = 1 Nº casos possíveis = 2 Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade

Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos: 1) A: “ Sair o número 5 “ Só há uma face “5” Um dado tem 6 faces 2) B: “ Sair um número maior que 2 “ B = { 3, 4, 5, 6 } Nº casos favoráveis = 4 Nº casos possíveis = 6

Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados Qual é o espaço de resultados? 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4?

Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa? Sobremesa: Fruta da época Pudim Prato: Entrada: Sopa Canja Pratos: Arroz de frango Bife grelhado Lampreia Entrada Prato Sobremesa Refeição ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P F ( S,B,F ) S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B 12 refeições diferentes! P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P )

Cálculo de Probabilidades Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta? Entrada Prato Sobremesa Refeição S C A B L F P ( S,A,F ) ( S,A,P ) ( S,B,F ) ( S,B,P ) ( S,L,P ) ( S,L,F ) ( C,A,F ) ( C,A,P ) ( C,B,F ) ( C,B,P ) ( C,L,F ) ( C,L,P ) Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim?

Lançamento de um dado perfeito 100 vezes Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência Lançamento de um dado perfeito 100 vezes Frequência absoluta ou efectivo de um acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento se verifica

Frequência absoluta ou efectivo E se o número de lançamentos aumentar? Vamos investigar o que se passa: * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes. * comparando os resultados obtidos Frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência absoluta e o nº total de observações.

Lei dos grandes números Esta experiência entre outras confirmam a LEI DOS GRANDES NÚMEROS: Para um grande nº de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade: p(A)= Frequência relativa de A

Conclusão Se numa experiência aleatória os resultados se prevêem equiprováveis, podes determinar a probabilidade de um acontecimento: Previamente (antes de realizar a experiência), aplicando a Lei de Laplace. Empiricamente (realizando a experiência), aplicando a Lei dos Grandes Números.