LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICAÇÃO LÓGICA Prof. Thiago Pereira Rique <thiagorique2011@gmail.com

Agenda Definição de implicação lógica Propriedades da implicação lógica Exemplificação Tautologias e implicação lógica

DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA Diz-se que uma proposição P(p, q, r, ...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p, q, r, ...) é verdadeira (V). P(p, q, r, ...) implica Q(p, q, r, ...) P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...)

PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA Propriedade reflexiva (R) P(p, q, r, ...) => P(p, q, r, ...) Propriedade transitiva (T) Se P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) e Q(p, q, r, ...) => R(p, q, r, ...) então P(p, q, r, ...) => R(p, q, r, ...)

EXEMPLIFICAÇÃO As tabelas-verdade das proposições: p ˄ q, p ˅ q, p ↔ q A proposição p ˄ q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições p ˅ q e p ↔ q também são verdadeiras (V). Logo, p ˄ q => p ˅ q e p ˄ q => p ↔ q Regras de inferência p => p ˅ q e q => p ˅ q (Adição) p ˄ q => p e p ˄ q => q (Simplificação) p ↔ q, p → q, q → p p ↔ q => p → q p ↔ q => q → p

EXEMPLIFICAÇÃO Tabela-verdade da proposição (p ˅ q) ˄ ~p (p ˅ q) ˄ ~p => q (Regra do silogismo disjuntivo) (p ˅ q) ˄ ~q => p Tabela-verdade da proposição (p → q) ˄ p (p → q) ˄ p => q (Regra Modus ponens) As tabelas-verdade das proposições: (p → q) ˄ ~q e ~p (p → q) ˄ ~q => ~p (Regra Modus tollens) ~p => p → q

TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA Teorema A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q, r, ...), isto é, P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) se e somente se a condicional P(p, q, r, ...) → Q(p, q, r, ...) é tautológica. Corolário Se P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) então, também se tem: P(P0, Q0, R0, ...) => Q(P0, Q0, R0, ...) quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, ...

TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA NOTA Os símbolos → e => são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q para formar p → q), enquanto o segundo é de relação (estabelece que a condicional P(p, q, r, ...) → Q(p, q, r, ...) é tautológica) Exemplos A condicional (p → q) ˄ (q → r) → (p → r) é tautológica. Logo, subsiste a implicação lógica (p → q) ˄ (q → r) => p → r (Regra do silogismo hipotético)

TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA Exemplos A condicional p ˄ ~p → q é tautológica (construir tabela-verdade). Logo, subsiste a implicação lógica p ˄ ~p => q Assim, de uma contradição p ˄ ~p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência) A proposição (p ↔ q) ˄ p implica a proposição q, pois a condicional (p ↔ q) ˄ p → q é tautológica (construir tabela-verdade). Portanto, simbolicamente: (p ↔ q) ˄ p => q