Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor Prof. Ricardo R. Fragelli Setembro, 2004

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas. Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra. Veja: A A’ B a F F a Corte a-a: F A A’ B

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais. Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais. Considere a viga seguinte: F2 F3 A A’ B a F1 F5 a F4

F1 A A’ F2 V N M B F3 F5 F4 F1 A B A’ F2 F3 F5 F4 Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante. Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy). F1 A A’ F2 V N M B F3 F5 F4 a F1 A B A’ F2 F3 F5 F4

As reações N, V e M são explicadas a seguir: Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA As reações N, V e M são explicadas a seguir: N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou compressão do elemento; V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte” da viga; M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga. Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor.

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (i) Força cisalhante (V>0) A A’ B a a Corte a-a: A A’ V A’ B V Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (ii) Momento fletor (M>0) A A’ B a a Corte a-a: A A’ A’ B M M Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo. No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.

10N A B C D E 5N 5N Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. a b a b Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. 10N A B C D E a b a b 5N 5N 1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

5N A E B 10N D C V N M Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. a b Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. 5N a A E B 10N b D C 1,0m V N M Corte a-a: Corte b-b: Análise de Equilíbrio do corte a-a:  Fx=0  N=0  Fy=0  V=5N  MB=0  M=5N.m

5N A E B 10N D C V N M Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. a b Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. 5N a A E B 10N b D C 1,0m V N M Corte a-a: Corte b-b: Análise de Equilíbrio do corte b-b:  Fx=0  N=0  Fy=0  V=-5N  MD=0  M=-5N.m

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga. Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário). É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga).

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo: 10N A B C 5N 5N 2,0m 2,0m Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e duas para M(x).

C 10N B 5N A 5N x A A’ V N M 5N x Exemplo 2) Primeiro corte: (a-a) a Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 2) C 10N B 5N 2,0m Primeiro corte: (a-a) a A 5N x A A’ V N M 5N x

V A A’ N M 5N x Exemplo 2) Análise de Equilíbrio do corte a-a: Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 2) A A’ V N M 5N Análise de Equilíbrio do corte a-a: * Válido para (0<x<2)  Fx=0  N=0  Fy=0  V=5N  MA’=0  M=5x x

C 10N B 5N A 5N x A B’ V N M 5N 10N B x Exemplo 2) b Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 2) C 10N B 5N 2,0m b A Segundo corte: (b-b) 5N x A B’ V N M 5N 10N B x

A B’ V N M 5N 10N B x Exemplo 2) Análise de Equilíbrio do corte a-a: Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 2) A B’ V N M 5N 10N B Análise de Equilíbrio do corte a-a: * Válido para (2<x<4)  Fx=0  N=0  Fy=0  V(x)=-5N  MA’=0  M(x)=-5x+20 x

A C 10N B 5N Exemplo 2) Diagramas de V e M: 2,0m V [N] M [N.m] x [m] Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A C 10N B 5N 2,0m Exemplo 2) Diagramas de V e M: V [N] M [N.m] 5.0 10.0 2.0 4.0 x [m] x [m] 2.0 4.0 -5.0

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrá-la agora. Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento distribuído w(x): w(x) V(B) N(B) M(B) M(A) A A’ B’ B a b N(A) a b V(A) x

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemos considerar a variação do carregamento desprezível. w(x) V(B) N(B) M(B) M(A) A A’ B’ B a b N(A) a b V(A) x

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que x é tão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que: Análise de Equilíbrio:  Fx=0  N(x+x)=N(x)  Fy=0  V(x +x)-V(x)=-w(x) x  MB’=0  M(x +x)-M(x)=V(x) x w(x) V(x+x) N(x+x) M(x +x) M(x) A’ B’ N(x) Fazendo x  0, temos que V’(x) = -w(x) e M’(x) = V(x) Por outro lado, integrando em relação a x entre A e x: V(x) = V(A) -  w(x) dx M(x) = M(A) +  V(x) dx x A x V(x)

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo: 20N/m B A Ay By 10m Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas uma função para V(x) e uma para M(x).

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 3) 20N/m B A Ay By 10m Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento. Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 3) 20N/m B A 100N 10m Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.

B A Exemplo 3) 20N/m 100N 100N 10m Como w(x)=20, temos que: Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA Exemplo 3) 20N/m B A 100N 100N 10m Como w(x)=20, temos que: V(x) = V(A) -  w(x) dx  V(x) = 100 - 20x M(x) = M(A) +  V(x) dx  M(x) = 100x - 10x2 x A x A

B A 20N/m Exemplo 3) Diagramas de V e M: 100N 10m V [N] M [N.m] x [m] Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Prof. Ricardo R. Fragelli DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA A B 20N/m 100N 10m Exemplo 3) Diagramas de V e M: V [N] M [N.m] 100 M(x) = 100x - 10x2 V(x) = 100 - 20x 250 5.0 10.0 x [m] 5.0 10.0 x [m] -100

Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Para complementar o estudo, não deixe de acessar as aulas interativas em Flash. O conteúdo mostrado aqui é suficiente para resolver os problemas referentes a este assunto, contudo, depende do aluno não limitar o seu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais aprofundados no assunto, bem como possíveis paradoxos e desafios que serão discutidos no Fórum. Para testar o seu potencial de resolução faça os exercícios da lista.

Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor Prof. Ricardo R. Fragelli (dúvidas? fragelli@hotmail.com) Setembro, 2004