Estatística Geral (Probabilidade Exercícios) Cap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística. Profº: Glauco Vieira de Oliveira ICET/CUA/UFMT

Probabilidade Lista de exercícios Um Jogo consiste em lançar 2 moedas simultaneamente. Qual o espaço amostral? Faça a distribuição probabilística dos eventos. Um aluno faz 3 provas, podendo obter 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 pontos em cada uma delas: Quantos são os possíveis resultados, considerando as notas das três provas? Note que a pergunta é diferente de: Quais seriam os possíveis resultados finais (somatório das 3 notas) para este aluno? Qual a probabilidade de o aluno conseguir 3 pontos? Em 6 lançamentos de uma moeda: Qual a probabilidade de sair cara na quarta jogada e cara na quinta? Qual a probabilidade de sair cara apenas na primeira ou apenas na terceira jogada? No Lançamento de 2 dados, calcular a probabilidade de : O resultado do 1º ser ímpar; O resultado do segundo ser par; A soma dos pontos ser 7.

Lista de exercícios Uma Urna contém 4 bolas pretas e 2 brancas. Três bolas são retiradas ao acaso, sem reposição. Seja X o numero de bolas brancas possivelmente obtidas. Faça a distribuição probabilística das bolas brancas Um Grupo de 3 homens e 2 mulheres candidata-se a 2 prêmios. Qual a probabilidade de os prêmios não serem ganhos por uma mulher? Calcular a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com três crianças, admitindo-se a mesma probabilidade para ambos os sexos. Três bolas de gude são retiradas, sem restituição, de uma urna que contém 4 vermelhas e 5 brancas. Se X é uma variável que representa o número de bolas vermelhas retiradas, construir uma tabela que mostre a distribuição de probabilidade de X. 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 3

Lista de exercícios Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo: Idade Iniciaram em 1984 Iniciaram em 1985 Total 7 anos 8 anos 9 anos - 200 60 220 20 260 240 500 Preencha o Quadro Acima e responda. Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico. Qual a Probabilidade de ele: Estar na escola desde 1984? Estar na escola desde 84 e ter 9 anos? Ter iniciado em 85 e ter 7 anos? Ter 7 anos? 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 4

Método binomial O método (produto de probabilidades) é usado, por exemplo, quando se quer saber qual a probabilidade de numa família, todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas. Se um casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que todos sejam meninos é: Quando há uma mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. e não se especifica a ordem de ocorrência, podemos utilizar o método binomial: Relembrando o Binômio de Newton (a + b)1 = a + b (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a + b)3 = 1a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 (a + b)4 = 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4 (a + b)5 = 1a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 5

Método binomial Triângulo de Pascal Relembrando Análise Combinatória: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Relembrando Análise Combinatória: É o nº total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja, é o numero de subconjuntos de k elementos tomados de um conjunto com n elementos Generalizando, podemos escrever, para x e y  R e n  N: Coeficientes são elementos do triângulo de Pascal (nºs binomiais) Observação: k  N e k ≤ n 6

1) Consideremos uma família com duas crianças Se: M- Menino (associado a uma probabilidade p) e F- Menina (associado a uma probabilidade q) P(MM) = P(M) . P(M) = ¼ P(MF ou FM) = ¼ + ¼ P(FF) = P(F) . P(F) = ¼ Podemos também escrever p2  Probabilidade de nascerem dois meninos (MM) 2pq  Probabilidade de nascerem 1 menino e 1 menina (MF e FM)* q2  Probabilidade de nascerem dois meninos (FF) * Probabilidade sem considerar a ordem Sabendo que p = q = ½ então: p2=1/4, 2pq =2/4 e q2=1/4 Observe que: p2 + 2pq + q2 = 1 p2 + 2pq + q2 é uma distribuição Binomial (Binômio de Newton) 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 7

2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem: 4 meninos; 3 meninos e 1 menina; 2 meninos e 2 meninas; 1 menino e 3 meninas 4 meninas 8

Probabilidade Lista de exercícios ¼; ½; ¼ . 216 Neste caso seria 15 possibilidades E={três pontos}; P(E)=10/216 Em 6 lançamentos de uma moeda: Observe que a pergunta despreza os demais lançamentos. P(duas caras)= P(kk)=P(k) x P(k) = ¼. Observe que a pergunta considera os demais lançamentos. Assim: P(k1 ou k3) = 1/32 Dois dados 1/2; ½ 1/6

Lista de exercícios p/ X= 0 P(x)=1/5; p X= 1,P(x)=3/5; p/ X= 2 P(x)=1/5 P=3/10 P=3/4 X = 0 1 2 3 P(x)= 1/6 ½ 3/10 1/10 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 10

Lista de exercícios Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo: Idade Iniciaram em 1984 Iniciaram em 1985 Total 7 anos 8 anos 9 anos - 200 60 220 20 260 240 500 Preencha o Quadro Acima e responda. Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico. Qual a Probabilidade de ele: Estar na escola desde 1984? P=0,52 Estar na escola desde 84 e ter 9 anos? P=0,12 Ter iniciado em 85 e ter 7 anos? P=0,44 Ter 7 anos? P=0,44 11) Quantos segmentos posso desenhar unindo 5 pontos? 11

2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem: Método binomial: n=4; a=P(menino)=1/2 e b=P(menina)=1/2 p= C4, 4 x (1/2)4 x (1/2)0 = 1/16 P= C4, 3 x (1/2)3 x (1/2)1 P= C4, 2 x (1/2)2 x (1/2)2 P= C4, 1 x (1/2)1 x (1/2)3 P= 1/16 12