Integrais Duplas Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d] Ì R2 e f: S ® R uma função de duas variáveis, limitada e tal que f(x,y) ³ 0 " (x, y) Î S. Consideremos o seguinte problema: Calcular o volume V da região do espaço limitado pelo plano XOY e a superfície z = f(x, y), tal que (x, y) Î S.
Tomamos n e m números naturais quaisquer, números reais quaisquer a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b e c = y0 < y1 < y2 < ...< ym = d, os "sub-retângulos" de S, Aij = [xi-1, xi] ´ [yj-1, yj] e pontos Pij quaisquer do plano tais que Pij Î Aij Tomamos a área de cada um dos retângulos Aij:
O volume do paralelepípedo retângulo de base Aij e altura f(Pij): D Vij = f(Pij). D Aij. Consideramos a soma desses volumes como uma estimativa para o volume V, isto é O volume V, caso exista, é obtido fazendo as dimensões dos retângulos Aij tenderem para 0, o que se consegue fazendo o máximo de todas as diagonais tender para 0. Indicando a diagonal do retângulo Aij por dij temos Ou seja
Definições : Uma função f(x, y) definida e limitada no retângulo S = [a, b] ´ [c, d] é integrável em S se existe (e é finito) o limite Se f(x, y) é integrável em S então sua integral ou sua integral dupla em S é igual a I É claro que se f(x, y) ³ 0 então I é o volume V do sólido especificado acima. Se f(x, y) £ 0 então V = - I. Proposição: Se f(x, y) é contínua em S então f(x, y) é integrável em S.
Integrais Iteradas ou Repetidas Propriedades operatórias da integral dupla Sejam f(x, y) e g(x, y) integráveis no retângulo S e c Î R então: 1) f(x, y) + g(x, y) é integrável em S e 2) c.f(x, y) é integrável em S e Integrais Iteradas ou Repetidas Da mesma forma que temos as derivadas parciais, temos também as integrais iteradas. Neste caso integramos uma variável por vez, fixando as outras Definição : Seja f(x, y) definida no retângulo S = [a, b] ´ [c, d]. Se " y fixo e pertencente a [c, d] a função em x f(x, y) é integrável em [a, b] e a função é integrável em [c,d] então temos a integral iterada
Proposição: Se f(x, y) é integrável no retângulo S = [a, b] ´ [c, d] e " y Î [c, d] a função g(x) = f(x, y) é integrável em [a,b] então Analogamente, se g2(y) = f(x, y) é integrável " x, então Interpretação geométrica Para o caso f(x,y) ³ 0:
Observações: 1.1) Se f(x,y) satisfaz a essa proposição então podemos trocar a ordem nas integrais iteradas sem mudar o resultado isto é, 1.2) Se f(x,y) é contínua no retângulo S então satisfaz a esta proposição (pois, neste caso, f(x, y) é integrável em S e " y fixo a função g(x) = f(x,y) é continua e portanto integrável) Exemplo : Determinar o volume do sólido limitado pela superfície z = x2 + y2 e o eixo OX e tal que (x, y) Î S = [-2, 2] ´ [-2, 2]. Esta superfície é um parabolóide de revolução.
S - C então f(x, y) é integrável em S. Proposição : Sejam S = [a, b] x [c, d], f(x, y) definida e limitada em S e C Ì S uma curva dada por y = y(x) ou x = x(y), funções de uma variável, contínuas num intervalo fechado. Se f(x, y) é contínua em S - C então f(x, y) é integrável em S. Exemplo : Sejam S = [-1, 1] x [0, 1] e f(x, y) só não é contínua sobre a curva y(x) = 1 - x2 com x Î [-1, 1]. f(x, y) é integrável em S. Vamos calcular sua integral:
Observação : Dada uma função f(x,y) e uma região D do plano, consideramos um retângulo S de lados paralelos aos eixos OX e OY que contenha a região D e uma função h(x,y) que coincida com a função f(x,y) em D e seja nula em pontos do retângulo que não estejam na região D. Assim, apenas os pontos da região contribuirão para o cálculo da integral. Cálculo de área usando integral dupla Podemos usar a integral dupla para calcular a área de uma região plana R, considerando que numericamente o valor da área é igual ao volume do cilindro cuja base é a região R e cuja altura é (constante) igual a 1.Ou seja tomamos a integral dupla da função constante f(x,y) = 1