Tecnologias - Matemática Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Função do 2º grau conceitos iniciais

MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO QUADRÁTICA Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h). Imagem: Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

A altura da bola varia em função do tempo. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO QUADRÁTICA A altura da bola varia em função do tempo. Veja a tabela a seguir. ALTURA (m) TEMPO (s) 15 1 20 2 3 4

FUNÇÃO QUADRÁTICA h = 20t – 5t2 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO QUADRÁTICA NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos. A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por: h = 20t – 5t2

FUNÇÃO QUADRÁTICA t (s) h (m) 1 5 2 20 3 45 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO QUADRÁTICA Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido. t (s) h (m) 1 5 2 20 3 45

FUNÇÃO DO 2º GRAU DEFINIÇÃO MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO DO 2º GRAU DEFINIÇÃO Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma: com a, b e c números reais e Nomenclaturas: Domínio  Contradomínio Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função.

FUNÇÃO DO 2º GRAU Identificação de coeficientes da função quadrática: MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO DO 2º GRAU Identificação de coeficientes da função quadrática: a = 2 a = 8 b = -3 b = 4 2x2 - 3x + 5 = 0 4x + 8x2 - 4 = 0 c = 5 c = -4 a = -1 a = -6 b = 4 b = 3 -x2 + 4x - 3 = 0 3x - 6x2 = 0 c = -3 c = 0

MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais Zeros da função: Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara: O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo: ∆ = b2 – 4.a.c

∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes ∆ < 0 → não tem raiz real MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes ∆ < 0 → não tem raiz real ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais

FUNÇÃO DO 2º GRAU CONCAVIDADE DA PARÁBOLA: y = ax2 + bx + c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO DO 2º GRAU CONCAVIDADE DA PARÁBOLA: Concavidade para cima Concavidade para baixo Concavidade para cima Se a < 0 Se a > 0 y = ax2 + bx + c

FUNÇÃO DO 2º GRAU TERMO INDEPENDENTE Exemplo : MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO DO 2º GRAU TERMO INDEPENDENTE y Exemplo : y = x2 - 2x + 4 c y x 4 x y = ax2 + bx + c Ponto em que a reta toca no eixo y

Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na origem do plano cartesiano. MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FIQUE LIGADO Se c > 0, a parábola cortará o eixo y acima da origem do plano cartesiano. Se c = 0, a parábola cortará o eixo y na origem do plano cartesiano. Se c < 0, a parábola cortará o eixo y abaixo do plano cartesiano.

MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais VÉRTICE DA FUNÇÃO O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas. A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . y y Valor máximo . . x x Valor mínimo

Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais VÉRTICE DA FUNÇÃO Coordenadas do Vértice y = ax2 + bx + c Ponto mínimo Ponto máximo Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:

EXEMPLO Achar as raízes da função O valor de c toca o eixo do y MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais EXEMPLO Achar as raízes da função O valor de c toca o eixo do y Achar o vértice da função

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento: Determinam-se as raízes da função. Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam). Analisa-se a concavidade da parábola. Faz-se o estudo do sinal. + + -

. . . . . . ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆. . . . + + + + + + + X1 X2 X1=X2 . X1=X2 . . - - - - - + - - X1 X2

EXEMPLO f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais EXEMPLO Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função); marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola; faz-se o estudo do sinal. f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS ESBOÇO DO GRÁFICO Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter : - Concavidade y - Ponto c - Zeros x - Vértice

Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações: MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações: Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 X Y -1 8 3 1 2 4

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4 X Y -2 -1 3 4 1 2 -5

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM RESUMO Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos: Determinar as raízes da função( se existirem). Marcar os valores das raízes sobre o eixo x. Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. Marcar no eixo y o valor do coeficiente c. Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.

Área de trabalho do software MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Área de trabalho do software Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org Imagem: Geogebra / software gratuito de código aberto.

FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes f(x) = x2 - 6x - 16 a > 0 A= (8, 0) B= (-2, 0) f(x) = -x2 + 6x + 16 a < 0 A= (8, 0) B= (-2, 0) Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org

Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ < 0 → não tem raiz real MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ < 0 → não tem raiz real f(x) = x2 + 3x + 7 a > 0 A= indefinido B= indefinido f(x) = - x2 - 3x - 7 a < 0 A= indefinido B= indefinido Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org

FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais FUNÇÃO COM AUXÍLIO DE SOFTWARE Exemplos de gráficos com o Geogebra: ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais f(x) = x² + 6 x + 9 a > 0 A= (3, 0) B= (3, 0)\ f(x) = - x² + 6 x - 9 a < 0 A= (3, 0) B= (3, 0) Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto. Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org

BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA, 9º ANO Função 2º grau – conceitos iniciais DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008. GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002 Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf> Sites: http://hsa.zip.net/ http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

Tabela de Imagens n° do slide direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso   2 Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wayne_Brown_4.jpg 29/08/2012 23 a 26 Geogebra / software gratuito de código aberto. http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org 30/08/2012