Prof. Rafael Mesquita rgm@cin.ufpe.br Cálculo Numérico Aula 21 – Integração Numérica Prof. Rafael Mesquita rgm@cin.ufpe.br 2014.1 – 14/07/2014

Integração Numérica Problemas resolvidos pelo cálculo de integral definida Determinação de áreas Determinação de volumes ... Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser feito analiticamente... Buscamos uma solução numérica Duas situações possíveis: Função a ser integrada é desconhecida Temos apenas uma tabela de pontos Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é trivial (ou é impossível)

Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Integra o polinômio interpolador que substitui a função 𝑓 Aproximação Intervalo de integração [𝑎;𝑏] é dividido em partes iguais 𝑥 𝑘 = 𝑥 0 +𝑘ℎ, 𝑘=1,2,…,𝑛 Podemos então construir a tabela ( 𝑥 𝑖 ;𝑓( 𝑥 𝑖 )) A partir da tabela a função 𝑓 é interpolada para calcular o valor aproximado de 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Fórmulas de Newton-Cotes Ideia Geral Integrar o polinômio interpolador da função 𝑓 Intervalo [a;b] é dividido em partes iguais 𝑥 𝑘 = 𝑥 0 +𝑘ℎ,𝑘=1,…𝑛 𝑃(𝑥) interpola 𝑓 em [a;b] Calculamos a area... 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝒙 𝟎 𝒙 𝒏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= = 𝒙 𝟎 𝒙 𝒏 𝑷 𝒙 +𝑹 𝒙 𝒅𝒙 𝑃(𝑥) 𝑓 𝑎=𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2 … 𝑏=𝑥 𝑛

Fórmulas de Newton-Cotes 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 [𝑃 𝑥 +𝑅(𝑥)]𝑑𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓( 𝑥 𝑘 ) => polinômio lagrange 𝐿 𝑘 𝑛 = 𝒋=𝟎 𝒋≠𝒌 𝒏 𝒙− 𝒙 𝒋 𝒙 𝒌 − 𝒙 𝒋

Fórmulas de Newton-Cotes Assim, 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 [𝑃 𝑥 +𝑅(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑘=0 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓( 𝑥 𝑘 ) +𝑅 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑘=0 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓( 𝑥 𝑘 ) 𝑑𝑥+ 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑅 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘=0 𝑛 [ 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥×𝑓( 𝑥 𝑘 )]+ 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑅 𝑥 𝑑𝑥

Fórmulas de Newton-Cotes = 𝑘=0 𝑛 [ 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥×𝑓( 𝑥 𝑘 )]+ 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑅 𝑥 𝑑𝑥 Definindo que 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ,𝑘=0,1,…,𝑛 e 𝑇= 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑅 𝑥 𝑑𝑥 , temos o método de Newton-Cotes generalizado: 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑘=0 𝑛 𝐶 𝑘 𝑛 𝑓 𝑥 𝑘 +𝑇

Fórmulas de Newton-Cotes Para obter 𝐶 𝑘 𝑛 , faremos uma mudança de variável, onde 𝑥= 𝑥 0 +𝑧ℎ e teremos novos limites de integração: Para 𝑥= 𝑥 0 ⇒𝑧=0 𝑥= 𝑥 𝑛 ⇒𝑧=𝑛 , pois z= 𝑥− 𝑥 0 ℎ Como 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝒋=𝟎 𝒋≠𝒌 𝒏 𝒙− 𝒙 𝒋 𝒙 𝒌 − 𝒙 𝒋 𝑑𝑥 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑥− 𝑥 0 𝑥 𝑘 − 𝑥 0 𝑥− 𝑥 1 𝑥 𝑘 − 𝑥 1 … 𝑥− 𝑥 𝑘−1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 𝑥− 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑛 𝑑𝑥

Fórmulas de Newton-Cotes 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑥− 𝑥 0 𝑥 𝑘 − 𝑥 0 𝑥− 𝑥 1 𝑥 𝑘 − 𝑥 1 … 𝑥− 𝑥 𝑘−1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 𝑥− 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 Como 𝑧= 𝑥− 𝑥 0 ℎ , temos que 𝑥− 𝑥 0 𝑥 𝑘 − 𝑥 0 = 𝑥− 𝑥 0 𝑘ℎ = 𝑧 𝑘 De forma genérica, temos que 𝑥− 𝑥 𝑖 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑖 = 𝑥−( 𝑥 0 +𝑖ℎ) 𝑘−𝑖 ℎ = 𝑥− 𝑥 0 −𝑖ℎ 𝑘−𝑖 ℎ = 𝑥− 𝑥 0 𝑘−𝑖 ℎ − 𝑖ℎ 𝑘−𝑖 ℎ = 𝑧 𝑘−𝑖 − 𝑖 𝑘−𝑖 = 𝑧−𝑖 𝑘−𝑖

Fórmulas de Newton-Cotes Assim, aplicando a mudança de variável onde 𝑥= 𝑥 0 + 𝑧ℎ e 𝑑𝑥=ℎ𝑑𝑧, teremos que 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑥− 𝑥 0 𝑥 𝑘 − 𝑥 0 𝑥− 𝑥 1 𝑥 𝑘 − 𝑥 1 … 𝑥− 𝑥 𝑘−1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 𝑥− 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 … 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝐶 𝑘 𝑛 =ℎ 0 𝑛 𝑧 𝑘 𝑧−1 𝑘−1 … 𝑧−𝑘+1 𝑘−𝑘+1 𝑧−𝑘−1 𝑘−𝑘−1 … 𝑧−𝑛 𝑘−𝑛 𝑑𝑧

Fórmulas de Newton-Cotes De forma mais sintética, temos que: 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝐿 𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝐶 𝑘 𝑛 = −1 𝑛−𝑘 .ℎ 𝑘! 𝑛−𝑘 ! 0 𝑛 𝜋 𝑛 (𝑧) 𝑧−𝑘 𝑑𝑧 , Com 𝜋 𝑛 =𝑧 𝑧−1 𝑧−2 …(𝑧−𝑛)

Método dos trapézios Calcula a área sob uma curva como uma série de trapézios Substitui, em cada subintervalo [ 𝑥 𝑖 ; 𝑥 𝑖+1 ], a função 𝑓 por uma reta Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida, soma-se cada área

Método dos trapézios 𝑓 𝑎=𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2 … 𝑏=𝑥 𝑛

Método dos trapézios Soma de cada subintervalo 𝒙 𝟎 𝒙 𝒏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟎 𝒙 𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +…+ 𝒙 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 Usando o método de Newton-Cotes no intervalo 𝒙 𝟎 ; 𝒙 𝟏 temos que 𝒙 𝟎 𝒙 1 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝑘=0 1 𝐶 𝑘 1 𝑓 𝑥 𝑘 +𝑇 = 𝐶 0 1 𝑓 𝑥 0 + 𝐶 1 1 𝑓 𝑥 1 +𝑇 Como 𝐶 0 1 = 𝐶 1 1 = ℎ 2 , obtemos que 𝑥 0 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 0 + ℎ 2 𝑓 𝑥 1 + 𝑇 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 1 + ℎ 2 𝑓 𝑥 2 + 𝑇 2 𝑥 2 𝑥 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 2 + ℎ 2 𝑓 𝑥 3 + 𝑇 3 … 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ℎ 2 𝑓 𝑥 𝑛−1 + ℎ 2 𝑓 𝑥 𝑛 + 𝑇 𝑛

Método dos trapézios 𝑥 0 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=ℎ 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 𝑛 2 + 𝑖=1 𝑛−1 𝑓 𝑥 𝑖 +𝑇 𝑇⇒𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜𝑠 Podemos reescrever o método dos trapézios como 𝑥 0 𝑥 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥≅ℎ( 𝐸 2 +𝐼+𝑃) ,onde E -> somatório das imagens nos pontos extremos P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos) I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)

Método dos trapézios – Exemplo Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da integral 𝟎,𝟎 𝟎,𝟔 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 usando o método dos trapézios, considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]

Método dos trapézios – Exemplo Poderíamos ainda...

Exercício Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos, Resposta:

Exercício

Método de Simpson “O método de Simpson se propõe a dar uma melhor precisão uma vez que são usadas partes de parábolas para aproximar a curva a ser integrada.”

Método de Simpson “Neste caso n tem que ser par, pois são somados dois subintervalos por vez.”

Método de Simpson

Método de Simpson

Método de Simpson Outro caminho: Encontrar o polinômio e integrá-lo.

Método de Simpson

Método de Simpson

Exemplo 6.2

Exemplo 6.2 - Solução

Exercício Usando a regra de Simpson para 7 pontos, calcular: Solução

Exercício – Solução

Dúvidas?

Referências Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010. Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula ICMC/USP. Disponível em: http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonb- Apostila%20-%20Cuminato.pdf